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Si p est le degré maximum des polynomes P, l'ordre de l'équation (11), ou », 
sera égal à p. Supposons qu'il n'existe qu'un seul polynôme du degré maximum, 
soit P, — ar? +... ce polynôme: on a alors, comme on voit aisément, » — p et 
Qo = (EU "TE cette forme monôme montrant que l'équation (11) ne possède 
au plus qu'un seul point critique à distance finie, savoir l'origine. Si, au contraire, 
il y à plusieurs polynomes tels que P,,P4,Px... du même degré maximum », Q 
présente une forme polynôme 
() 
do = (dpt? in + k + Ge pt? mn + k + Gr pa?" — iù + k" +...) À 
indiquant la présence d'autres points singuliers que # — 0, à savoir les racines du 
polynôme Qo = 0. 
En second lieu remarquons que si lon multiplie tous les termes de l'équation 
différentielle primitive par un facteur polynôme, ce changement fournira une autre 
équation réduite, d'ordre plus élevé, admettant d’ailleurs toutes les solutions de (11). 
Enfin, le choix même de la solution > peut influer sur le terme K lorsque cette 
solution est holomorphe et qu'il faut appliquer la formule exceptionnelle (9). En 
particulier K peut être différent de zéro, H étant égal à zéro. Nous pouvons éviter 
ces diverses complications en multipliant l'équation (10) par une puissance de x 
telle que, pour aucun terme, l'exposant de la variable ne soit inférieur à l’indice de 
la dérivée correspondante, ce qui permet d'appliquer sans exception le théorème 
sénéral. 
Il importe d'entrer dans quelques détails de calcul touchant le passage de 
l'équation primitive à la réduite et réciproquement : nous supposerons désormais 
H — 0, et par suite, si l’on à préparé l'équation primitive comme il vient d'étre 
, d ; Le 
dit, K — 0. Désignons par # le symbole opératoire x à identiquement, ainsi 
qu'il est aisé de voir, 
hi 
mn LL 
” dx" 
u = dr — 1)(5 — 2)... (5 — m ++ lhu, 
l'ordre des facteurs symboliques du second membre étant indifférent, Un terme 
quelconque de lPéquation primitive présentant la forme 4" +#"(x) il Jui corres- 
pondra, dans l'équation réduite, le terme 
de — 1). (5 — mm — n + 1)(2"),); (12) 
cela résulte de la règle énoncée au début de ce paragraphe. 
Réciproquement, s'il s'agit de passer de léquation réduite à la primitive 
(14) 
