NOTE SUR UNE OPÉRATION ANALYTIQUE 309 
correspondante, nous l'écrirons sous une forme telle que son premier membre ne 
contienne que des termes semblables à (12), ce qui est toujours possible, En effet, 
(2 
: se Ur 
nommons poids dun terme tel que ?? Er le nombre p — g: tout terme de 
‘AT 
. a . LI LEP 1 4 , 
poids / peut S'écrire 1 + ju > Qu encore æw(5 — 1)...(5 — 4 + 1}, où enfin 
HE 
(es — 1) (5 — 1 1)... (5 — 7 — 4 + 1) (x5,). Ainsi en ordonnant l'équation donnée 
suivant des termes de poids 0, 1, 2... elle s'écrira toujours sous la forme 
dos) + di(s)(rr) + V(r5)(x°2r) es 0 Un (S)L"X,) — 0; 
les 4 étant des polynômes, On peut même supposer, moyennant une multiplication 
préalable, qu'un terme quelconque d'ordre X, L(r5) par exemple contient en facteur 
le produit r5(r — 1)... (5 — X + 1), et qu'ainsi quel que soit X 
Us) = ds — 1). (5 — À + l'or). 
Enfin, développons sw) de la manière suivante 
auf) = do + af — À) + a,(5 k) (rs — k — 1) 
Lars — k)(r5 ki 1) (es — k — 9) +... ; 
il est clair qu'après cette préparation tous les termes de la réduite sont de Ia 
forme (12) indiquée plus haut et qu'on peut écrire immédiatement l'équation pri- 
mitive correspondante. Quant à l'ordre de cette dernière il est égal au degré 
maximum des polynôomes 5. 
Exemple. Cherchons à déterminer l'équation différentielle, d'ordre minimum 
que satisfait une fonction admettant comme réduite l'expression 2e —*#, q étant 
: en nn 
quelconque et p un nombre rationnel et positif, p — 
1 
Posons pour abréger 
d=I+p , qe GA NT ET AR QE 7 
les g étant ainsi en progression arithmétique de raison p et soit encore 
fr == mens 
On à identiquement 
(s — qjfy = — pfy 
(15) 
