NOTE SUR UNE OPÉRATION ANALYTIQUE 311 
rentielle à indices fractionnaires ; aussi vaut-il mieux appliquer la méthode générale 
pour trouver l'équation primitive appartenant à la fonction te — "+. On a icim—1, 
1 à 
n—2,p—;, et pour la détermination des coefficients, le tableau 
Le 
m g AS = ÀA*o 
2 
1 (— 1) (4! —1) 3—(q+ 4!) 
2 (g— 2) (g° —2) 5 —(g9 +4) 
3 (g — 3) (g' — 3) 
qui donne 
; 5 : 1 
Bo A (4 0) Cr) A —(g—1)(4—;) 
et pour l'équation cherchée 
agi D ay F ] 4 
af" — (9 — af" + Q— Da — PT =;f. 
Telle est ici la forme explicite de l'équation de Laplace à indices fraction- 
naires (14) à laquelle s'appliquerait dans tous ses traits essentiels la méthode 
d'intégration de Laplace. C’est le cas le plus simple d'une classe étendue d’équa- 
tions différentielles pour lesquelles la même méthode est valable. 
Remarquons en terminant que la fonction qui nous a servi d'exemple n'a point 
la forme x# G(x), sa réduite 2%e' = étant ordonnée suivant les puissances de V/x% 
et non de x: il est à peine nécessaire d'observer qu'il n'y a là aucun inconvénient 
pratique, la difculté pouvant d'ailleurs être tournée en considérant les fonctions 
qui ont pour réduites a%(e*# Æ ex) ou ter — e—*7+), Ces fonctions sont 
évidemment du type normal et vérifient l'équation différentielle obtenue plus haut. 
$ 4 Les fonctions de Bessel et leurs réduites. 
Nous allons appliquer les notions qui précèdent aux fonctions de Bessel de 
première espèce: on nomme ainsi les transcendantes 
x 4 
2 
(a) 
Da 5 OUPS) 
Ja (a) — 2"n! [1 RPC URI EST F 2! (n + 1)(n + 2) ël 
où » représente un nombre, généralement entier et positif dans les applications, 
(17) 
MÉM. SOC. PHYS. ET HIST. NAT. DE GENÈVE. VOL. 34 (1903). 39 
