314 C. CAILLER 
La dernière formule nous permet de trouver facilement la réduite de J,(x); 
Se Il 2 , 
transformons en effet une fois encore en posant 2 — = — ; : la variable # tourne 
; : u 
autour de zéro en même temps que 2, et l’on a 2 — - 
VUE 
dz du : 
US A Gi 
z uV1+u 
1 DE nt: du 
Ir ME —— —> 
(x) en) (1 2 =e u>)" V Il + u> 
(C) 
Ainsi, * étant entier, nous avons pour réduite de J,(x), l'expression 
D Il 
= (EVE a) V1 + 
La même formule est encore valable pour # quelconque, ainsi qu'il est aisé 
J,' (&) 
de le reconnaitre ; car si l’on réduit directement la série J,(x), on trouve 
]J "(x) pt , 1) (# + 2u)! fE n + 2pu 
RE 1 NS) IN 
ets (8 + (+) 
L n 
ou, en remplaçant (x + 24)! par le produit 2 
“ = © n n — 1 
JE — S S (ns C de :)' (e Er a)! a2u 
V’r =D ul(n +)! 
ou enfin, en remarquant que ce second membre s'exprime par une série hyper- 
géométrique, 
GUCTN æ fr, ni 
n! Ven SH 9 m+1—4) 
? # x Le l 
ce résultat concorde nécessairement avec — : === 
à d : 1EV/1 Eat) VA Hu 
Jyi(x) — 
Or 
? 
toutes les fois que le nombre » est entier et positif; il est clair, par la nature des 
coefficients numériques des deux développements, que la coïncidence ne peut 
avoir lieu pour toutes les valeurs entières de » sans être absolue. 
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