316 C. CAÏLLER 
: I ; 
substituons # — 7 > 4 trace un lacet L enveloppant les points # — + à, et l’on a 
2°n! n J | L if xu Jai 7 C+a) l 
ra MO ITR € {(u” <° au ; 
(2n)! 2. 
L 
ou encore 
2°q! Il Q tee) 
)— —— >2i 2 2 
nr) Cq) ot) — D GC (7e ra 2 du 
Cette représentation intégrale de la fonction 4,(x) est valable, comme une 
autre précédemment donnée, dans le seul cas où g est entier ; nous en verrons bien- 
tôt une troisième tout à fait générale, 
Nous allons utiliser quelques-uns des résultats précédents pour déterminer 
divers développements en série. 
1° Soit à développer la fonction e“*.J, (Bx) suivant les puissances de x. 
- : à 1 PE 
Nous venons de voir que la réduite de J,(æ) est —=— ; ainsi en vertu d’un 
VE 
théorème connu, celle de e**J (8x) sera égale à 
1 l F 
V4 me GE DE + G? FE 
(1 - 2/1 LS ere 
[en] 
Mais si l’on désigne par P,(x) le polynôme de Legendre, nous avons 
Il n = © ( e \ , 
— EE ———— a — S ) —————_— T 2 2) 2 
VAN Tree Er =) Pa Ve + 3 04) 
si donc on fait pour simplifier 4 + £? — 1, on trouve 
n = œ@ n 
CRDI CA PAR OS Mi NC) _ 
n = 0 n: 
Le cas 4° +? — 0 est exclus de ce qui précède, mais il donne immédiatement 
2° On demande de développer une fonction entière f(x) en série de la forme 
fx) — 4) )} (©) + a) (x) +- a, (x) +... 
29 
