NOTE SUR UNE OPERATION ANALYTIQUE 323 
tant maintenant une fonction rationnelle, on n'aura pas d'autres transcendantes à 
: : Dre ” At) 
introduire que , lui-même et [l EE dx ; 
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cette dernière intégrale peut même 
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être calculée par la formule (24) si a — 0 et que qg soit un nombre entier. 
Cinquième propriété. — Du mode de raisonnement employé ci-dessus résulte 
évidemment qu'il ne peut exister aucune identité de la forme 
Co t C'oy + Co +. Cap — 0 
les € étant constants. Mais nous allons prouver qu'il ne saurait non plus exister 
de relation de la forme 
Pey + P'ey = I (29) 
P, P', R, représentant trois polynômes, excepté siP — P'—R — 0. En effet, 
si l’on réduit la relation supposée, on voit qu'il en résulte une autre de la forme 
ae7 + aTeQ" js 
Q,Q' et S étant trois polynômes dont le dernier n’est autre que la réduite de K. 
Or cette équation entraine z1Q + 21Q° — 0 et en outre R —S — 0. Ainsi pour 
la possibilité de (29), il faut d'abord que R soit nul: en second lieu, l'équation 
aQ + 21 Q! — 0 nous montre que la différence g! — q doit être entière et, disons 
positive — ». Mais on verra tout à l'heure que 2,4, peut être mis sous la forme 
Az, + Bz,41. A et B étant encore deux polynômes: ainsi la relation supposée doit 
S'écrire 
Poy — P Py +1 
Or si l'on suppose P du degré p. P' du degré p', puis que dans la précédente 
équation on remplace les termes de la forme 2°+, et Lo +1 par leurs expressions 
(28), on voit que le plus grand indice de z est 4 + 2p à gauche, 49 + 2p° + T1 à 
droite du signe —; ces indices ne peuvent donc être égaux, ce qui prouve l'impos- 
sibilité de l'équation (29). 
Nous allons voir au contraire qu'il peut exister des relations de la forme 
Po + P'os + Pay +. = 0 
P, P', P” étant certains polynômes, lorsque les différences g'— 4, q"— 4. sont 
entières. 
(29) 
