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NOTE SUR UNE OPÉRATION ANALYTIQUE 32) 
Il est d'ailleurs évident que 4, +, tend vers zéro, quel que soit x, pour » indé- 
finiment croissant ; on aura done aussi Him(A,c — B,21) 0, d'où résulte que la 
dite fraction continue à pour limite le quotient *, 
«t 
«2 
Soient maintenant trois fonctions 4, +1; 4m: S+n les nombres /, 2», 7 
étant entiers et positifs : Je dis qu'il existe entre ces fonctions une relation homogene 
et linéaire à coefhicients polynômes, On trouvera celle-er en élimmant 4, et 4, 1, 
ou %',entre les trois relations, 
T4 
Di +t — | 1)! (A9 LA B; ') 
Di+m —= ( — Ï Hé ( An Or Bo | 
Dy+n — ( IL)fS (A, D r B,œ') 
ce qui donne 
— D'AB, — AB )g er + (— 1)" (AB — AB) gr + n 
_E (== lERADe = À, By) o, + u—(0) 
Mais ce n'est point la forme la plus simple de cette équation à trois termes: 
il va en effet résulter de l'étude que nous allons faire des propriétés les plus élémen- 
taires de ces polynomes que les trois déterminants peuvent revêtir une forme plus 
concise,. 
Propriétés des polynômes À, et Bb. — Commençons par l'observation suivante, 
L'équation (30) n’est qu'une conséquence de (31) lorsqu'on remplace au second 
I | 
membre de celle-ci les dérivées 2", 2," par leurs valeurs tirées de l'équation 
différentielle (18). Or si l'on nomme 5, la seconde solution de cette équation différen- 
tielle, on a. comme il est facile de le voir, 5, — x +14 ,(x) et Pon conclut de suite 
. d 6 d \? i 
la relation 4,41 —= xt F! ( OU ET En ( ( 1 | . analogue 
£ à CR dx \ x! | Hu dx ) PA 5 
à (31). On aura done aussi, par la remarque précédente 
bin — (— 1)" (4,8 —B,6):. (35) 
D'autre part, puisque », et 5, sont solutions de équation différentielle (LS) 
on aura 
