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NOTE SUR UNE OPÉRATION ANALYTIQUE 327 
Si dans la seconde de cesformules nous faisons m — 1 et que nous remplacions 
ñn par # — 1, il vient 
B,(x,q) — xA, (2,9 + 1) ) 
relation qui ramène le polynôme B au polynôme A: par son moyen, les deux équa- 
tions précédentes se réduisent à une seule qui peut s'écrire ainsi 
An n(9) —= An(g)Aan(g + m) + rAn-31(q)An-1(g + m + 1). (37) 
Par exemple, en faisant »m — 1, il vient 
An + 1(9) = qA,(g + 1) + zAn _ 1(g + 2) (38) 
Les polynômes A_,, A_2, À _, etc. d'indices négatifs, peuvent être définis 
à l’aide de l'équation récurrente (33). On peut remarquer l'identité 
2" HAL (QG) = (— LA 14 —n +1), 
qui se vérifie immédiatement pour # — 2? et » — 3. et qui est générale puisqu'elle 
transforme la récurrence d'indices négatifs 
Ati — (9 nA" SF TA, 2 
en la récurrence (38) d'indices positifs. On montrera d'ailleurs sans peine que la 
relation (37) est valable généralement, c’est-à-dire quels que soient les nombres » 
et » positifs ou négatifs. 
Reprenons maintenant les formules (36) qui donnent par leur combinaison 
AB: En ASDe #7) = T(An — Bu ss ARES _— DAS ! (q — m — 1) 5 
d'où l’on tire d'abord en faisant # — 1. 
AnBn AT Êa— 1B» = (— x)" : 
puis | 
Babe Bnra—(— D'À, (9 me 
puis d’une manière générale 
AgBs — AsBu —(— + tn» 1(g + + 1) 
= — (— x)e +1A, — u—i(g+u+ 1) : 
(33) 
MÉM. S0C. PHYS. ET HIST. NAT. DE GENÈVE, VOL. 34 (1904). 41 
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