gts 
NOTE SUR UNE OPÉRATION ANALYTIQUE SH 
cette fonction f(2) rend nulle l'intégrale [l eT<zf(a)dz . Mais ilest clair que (2) 
Ô 
est holomorphe et telle en outre qu'en lui supposant la forme f(2) —c€,+4c,2 +0,32 +. 
on peut dans l'intégrale précédente intégrer terme par terme, Ainsi tous les € sont 
nuls et l’on à f(2)— 0. ou identiquement 
J,(V/a? + b? — 2ab cos o) 
— J,(a)J,(b) + 23,(a)J,(b)coss + 27,(a .T,(b) cos 24 +... 
, [(44) 
ce qui constitue le théorème d'addition. 
L'intégrale (41) va jouer un rôle important au paragraphe suivant: nous 
voulons en ce moment l'appliquer à l'étude de certains polynômes que leurs pro- 
priétés rattachent d’une manière fort étroite aux fonctions de Bessel et dont un cas 
particulier à fait l'objet d'un beau travail de Laguerre". 
Développons suivant les puissances de x la fonction 4, (x2) en posant 
"== 2 G 
= u (2) > 
PES Se 45) 
= () n\(n + u)! (ae 
Pour déterminer la fonction G, ,(z) nous réduirons les deux membres de la 
précédente relation par rapport à z:; pour le premier nous trouvons 
DES 2)E 
rés er —2) ou rte S 
mm E TON n! 
En lui égalant la réduite du second membre, on voit que la réduite de la fonction 
28G, (2) est égale à (n +u)!2#(1 —2)". Voici donc la valeur du polynôme G,, (2) 
à : il 2 n(n —1) 2e 2" 
ï D) — ul | - —+ a a — . 
Ga (e)— (x a] > RG de MONO el 
D'autre part si l’on réduisait la même équation (45) par rapport à x il viendrait 
" 
e 1—% n=o yn 
ne > — Guy (2) (46) 
1 ñn, < 
1 Laeuerre. (Œuvres Tome I, p. 428-437. 
(39) 
