334 C. CAILLER 
équation qui peut aussi servir de définition au polynôme G,,,: la forme de ce 
dernier fait voir que 
] > 
H . " LA 
De) AIM Le (©) 
TH ® (n—+Hu)l Er 
Reprenons l'intégrale (41) : faisons passer les facteurs e* et 7 à gauche du 
signe — , remplaçons el, (x) et e"L,(yz) par leurs développements (43), nous 
trouvons, en égalant à ©, (y) le résultat de l'intégration terme à terme, les identités 
. 
20 
| e Gp (2) (2)24d2 208 sim 
2 [71 s 
NS Te EN s == 
[l e*G, (2) de=n!(n +)! , sin=m 
et de là on tire par la méthode connue cette conséquence, que étant supposé réel, 
le polynôme G,.,(2) à toutes ses racines réelles et positives. En outre les relations 
précédentes peuvent servir à trouver les coefficients &, du développement d'une 
fonction quelconque g(2) suivant les polynômes G,,(2), ainsi 
90) = %Go,82) + dG,u(2) + ; 
lorsque la possibilité d’un pareil développement a été démontrée d'autre part. 
e 
Par exemple, s’il s’agit de la fonction g(2) — 4, (2), , pour laquelle cette possi- 
bilité est évidente puisqu'elle résulte de la formule (45), on trouve l'intégrale 
le—ry,(xe)G, (o)de = ae") , (47) 
tandis qu’en prenant la formule (41) et développant les deux membres suivant les 
puissances de y, on obtient par comparaison 
A2 
fes, (xe)e"da—xfG se? . (48) 
0 
Enfin si l’on rapproche l’une de l’autre ces formules (47) et (48) on voit que 
l'on peut, d'une infinité de manières, déterminer les fonctions f(x) et g(x) de sorte 
que l'identité 
P-+) 
sf (2)p(x2)de — x q(x) 
0 
(40) 
