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d'où résulte que tout polynôme G,, s'exprime linéairement en fonction de deux 
autres quelconques déterminés Ge et Guru , (les coefficients de cette relation 
linéaire étant aussi des polynômes) pourvu que les différences 4! — et u" — y 
soient des nombres entiers. 
S'il s’agit par exemple de former la récurrence entre G, _ un Guy » Gitius 
nous dirigerons le calcul comme suit. Par l'équation (53) nous exprimons G, - LE 
en fonction du couple Ge tOsi te puis nous passerons du couple LP Gr 
au couple Guy , Gupiu1 par l'intermédiaire de l'équation (54), où l’on aura au 
préalable remplacé » par » + T et » par y — 1: enfin nous passerons du couple 
Gus Gnpiu sr, aù couple Ge, Gi, à l'aide de l'équation (53) où » aura 
été remplacé par # + 1, restant le même. On trouve ainsi 
(Ge, 22 Lu — (27 = na re Vin 2)Guu nn Ety)G, Lg (53) 
Par des procédés analogues on obtient la récurrence entre Ge ni GE 
sous la forme 
a (Connor (02H) (6) 
Le polynôme G,, vérifie une équation différentielle linéaire du second ordre 
que nous pouvons obtenir comme ii suit. 
Différentions l'équation (49) et remplaçons G, 
4 1 Par sa valeur tirée de (51) 
savoir —#G, 1, > il vient 
2 Re, = nn +) Lu: (37) 
tiré de (57), on 
n—1,u ) 
b 
substituant dans l'équation (54) G,_,,:, tiré de (51) et G 
arrive à l’équation différentielle 
G,,+nG,, —=0 , (58) 
et celle-ci, dérivée » fois, donne 
(ni +2) e (na +1) 
2 y +R I— 2)G,u —à() 
d'où résulte pour la seconde solution de l’équation différentielle précédente, 
l'expression 
x e!(x 2)"dz 
P s1 g+nu+i 
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