338 C. CAILLER 
entraine comme conséquence cette formule d'inversion 
| TOTACOE —"/1i() 
0 
laquelle ne diffère de la première que par l'alternance des fonctions f(x) et g(x). 
Ce théorème constitue lune des propriétés les plus caractéristiques des fonctions 
de Bessel: il doit être rapproché des formules de Fourier, qu'on peut d’ailleurs 
considérer comme un cas particulier correspondant aux hypothèses 
La formule à démontrer peut s'écrire 
LES " 22 
l2 , à 
| J,(12) = | y (eu)f{ujdu — xf(x) ; (9) 
0 C0 te 
elle à lieu, + étant positif, quelle que soit la fonction f (sous des réserves évi- 
dentes) et pour # quelconque non inférieur à — +. Nous ne la démontrerons point 
ici d’une manière complète, mais nous ferons voir que si, pour une valeur de x 
réelle et positive, le premier membre existe, il est nécessairement identique au 
second et nous ferons dépendre cette démonstration du lemme suivant. 
Soient x un nombre positif, &« et b deux nombres positifs rangés par ordre de 
grandeur croissante, » une quantité réelle au moins égale à — ; , f(x) une fonction 
intégrable de « à b, 8, l'intégrale 
u— 1 ÿ 
St [rene 
en faisant décroitre jusqu'à zéro la quantité positive k, on aurë 
+ ru 
h ATDLL : (60) 
Il lim s, = 0 SIT ED OUT IE 
H 
U  Ilims—5 [Aæ+0)+fx—0)] ib>r>a 
FLE 
HI lims—; /(&—.0) Si Z— 0 
FLe 
IV lims—; 7x + 0) SLT 
(44) 
