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rad, 
NOTE SUR UNE OPÉRATION ANALYTIQUE 341 
et comme £ est ici compris entre x et x + : il tend vers x quand } décroit et la 
formule (62) donne 
Æ 
à TER 
ims, =; /(&+ 0) 
Remarques complémentaires sur cette démonstration. — 1° Nous avons évi- 
demment admis que r était différent de zéro. Si x — 0 et que » soit quelconque, 
: Sh » 
le quotient — prend la forme 
z® 
b 
1 1 A 4 fi) = a 
“ ftu)e lu°du ou > [ po 
aihE Te ul. 
a 
h 
x 
£ est de nouveau compris entre & et b. Il résulte de là que si a => 0 et ba 
PU) C/ Ÿ 
lim 4 — 0; mais si 4 —0 et b => 0, on conclut de la même méthode que 
Æ 
æ—0 \T , 
/ 
ci-dessus, lim ( =) — fi+ 0). 
\æÉ, 
20 On a également admis implicitement que la fonction f(x) restait finie de « 
jusqu'à b: mais cette supposition est inutile, et fix) peut devenir infinie pourvu 
qu'elle ne cesse pas d’être intégrable. 
3° Enfin on peut se proposer d'étendre notre théorème au cas où 2 devient 
infini ; il est aisé de trouver des conditions suffisantes à satisfaire par f(#) pour que 
le résultat ne soit pas changé. 
On peut évidemment se borner à traiter le cas où dans 
x +u 
u— ! a FR _— TU 
SE — 0 | fte)e 1 Sul LL ° 
Le 
a 
la limite « est supérieure à x, et rechercher sous quelles conditions on à lim s, — 0. 
u—Vx 
: A de LR re 
Observons à cet effet que le quotient RAR a un minimum V4 inférieur 
fu 
à l’unité et que par suite Vu —V'r° > au, d'où résulte par la formule (60) 
pour le maximum de {s,| l'expression suivante, où M représente la plus grande 
valeur de ®, 
! 
ace RON RL 
Sa ——— M | e hu? Vlf{u)ldu , 
SE enr fu) 
