NOTE SUR UNE OPERATION ANALYTIQUE 3143 
On voit que cette démonstration suppose non seulement l'existence de l'inté- 
grale (63), mais encore celle des conditions obtenues tout à l'heure relativement à la 
manière dont se comporte /(4) à l'infini. I faut en outre admettre qu'on peut 
intervertir l’ordre des intégrations dans la formule (64). 
Si dans (63) on introduit J,(x) à la place de L,(x), la formule d'inversion 
devient | 
LEA F2 
| zJ ,(te)dz | TIR zu)du = f(x) 
0 0 
forme très symétrique qui résulte, pour » entier, d’une formule générale due à 
M. K. Neumann! combinée avec la formule d'addition (44); ce mode de déduc- 
tion ne souffre pas les imperfections de celui qu'on vient de lire; par contre, il est 
inapplicable au cas général où 2 est fractionnaire. 
S S. Intégrales définies. 
Un grand nombre d'intégrales définies contenant des fonctions de Bessel peu- 
vent être déterminées sous forme explicite: c'est là une des particularités les plus 
remarquables de ces fonctions. Nous allons passer en revue quelques-unes de ces 
intégrales en les choisissant parmi les plus intéressantes au point de vue pratique : 
nous nous éforcerons de les rattacher aux principes généraux qui nous ont déjà 
servi, ainsi qu'au théorème d’'inversion qu'on vient de voir, Nous ne controlerons 
jamais les conditions qui en limitent l'emploi, soit que ces conditions soient évidem- 
ment satisfaites, soit qu'au contraire leur discussion nous eût entrainé trop loi. 
Je rappelle enfin que, dans toutes les formules qui vont suivre, sauf quand le con- 
traire est indiqué expressément, l'indice des fonctions J est un nombre quelconque 
réel, entier où non, limité inférieurement par la convergence des intégrales, 
Théorème général. Proposons-nous de déterminer l'intégrale multiple 
(1 4) L 
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étendue à la portion de surface hypersphérique 
! Voir, par exemple, HeNE, Theorie der Kugelfunktionen. t. 1, p. 443. 
(49) 
MÉM. SOC. PHYS. ET HIST. NAT. DE GENÈVE, VOL. 84 (1904). 43 
