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Observons encore une conséquence du théorème général. L'intégrale multiple 
22 A 12 
/ ns / Va + +. Han) (ae) d (antn)t, nt as T L.aot dx dis... dus 
La Le 
(l (0 
où f représente une fonction quelconque, se réduit lorsqu'on l'évalue en coordon- 
nées polaires à l'intégrale simple 
dl h, 
71 h, 22 
pen n à 
—— | fort, (ar)dr 
a 
(L 
résultat qui, abstraction faite du facteur 4,ha,/.. an, ne dépend, quelle que soit 
la fonction f, que de la quantité «a —V/a,?+ a, +... + de 
Conséquences du théorème et résultats particuliers. — Le cas le plus simple 
du théorème précédent correspond à » — 2, tous les autres pouvant se déduire de 
celui-ci par répétition. On a 
= a — 17n — 1 PS 
| cos"sin"c.], = (&COSS HE (D sino)do — MEME 5 Per ET | V a + b? ; 
0 (a°+b?) 2 
[(GS) 
formule qui n'est qu'une variante de l'équation (25) et dont j'ai étudié ailleurs les 
conséquences, On peut en tirer facilement les diverses intégrales de la forme 
Tr 
3 
| * cos" + Sin" + #oJ m —1(4C0Sg)Jn _1(bSine)de , (69) 
Ô 
quels que soient les entiers positifs m' et »', en les ramenant à des combinaisons 
de plusieurs autres de la forme (68). On peut même trouver sous forme finie l'in- 
tégrale (69) lorsque »' et »' sont entiers et négatifs, mais seulement si » et » 
sont eux-mêmes entiers: il est clair d’ailleurs que les limites inférieures de »° et n' 
sont 1 —» et 1 — » respectivement. Ce théorème revient au suivant. 
Soient 
: al Lz 
he js “Lt LE à 712 (WE 
CR € et x mn — | Om (U2 )Em(@ 2) non 
. 8 à 
0 
les nombres # et x! ne devant pas dépasser #7 et m' respectivement et pouvant 
e 2 DO : ru, n 
devenir négatifs: lorsque », #, m',n' sont tous entiers, X 
mn, m' 
s'exprime en fonc- 
(22) 
