NOTE SUR UNE OPÉRATION ANALYTIQUE 997 
cette équation ne présente que des termes de degré 0 et de degré — 1 par rapport 
à æ. Comme d’ailleurs elle contient » arbitraires 4, , 4... dans ses » coef- 
ficients A,... A,, ce sera l'équation la plus générale de cette forme. Lorsque, 
par exemple, les A seront donnés, pour retrouver 4,43, 4h il Sufira, après avoir 
d' Ur 
multiplié l'équation par +, de remplacer un terme quelconque tel que x* par 
dr" 
(ms —1)..(5—#k+4 1) ce qui ramènera le premier membre à un polynôme 
ordonné suivant les puissances de #5: en décomposant ce polynôme en facteurs du pre- 
nier degré, les racmes seront, à l'ordre près, les quantités 4, , qi 42, qi— qn et 0. 
L'ordre de ces quantités pouvant étre interverti à volonté, autrement dit l'une 
quelconque pouvant jouer le rôle précédemment assigné à 4,. il en résulte pour 
les (#7 + 1) solutions de l'équation (S3) le tableau suivant 
GT, Qi; Jas +. Qn) 
PT; D es Hs ar Tor Que) 
or, 4: en CE Cm ÈS Jus Un — (a) 
o(x, Hi fn) VE GE ns... : Un —1 fn QT An) 
VA 
L'E(T, — Qi Le ns As — 13; On) 
Les » premières équations de ce tableau ont été formées comme il vient d'être 
dit, tandis que la dernière à été obtenue en comparant l'équation pour avec celle 
précédemment écrite pour la fonction f— x or, 4: 4... qu: les n +1 
solutions trouvées forment un système fondamental d'intégrales toutes les fois que 
les exposants 0,4, Gi —@Q2: 4j — use. jy —q Ont entre eux des différences 
non entières. Le cas exceptionnel conduit à un système fondamental à facteurs 
logarithmiques sans point d'indétermination: nous le laisserons complètement de 
côté dans la suite et nous ne raisonnerons que sur le cas général: les quantités 
fisen OÙ AÀA,,.. A, sont ainsi supposées quelconques. 
Au reste on peut facilement prouver que toute équation de la forme 
+1 dre n De : 
1h SE L " 1 7 — ‘,, “a 
a Fes + a, Le + + ax Fr HE ayip —=brt"e , (86) 
laquelle ne possède que deux catégories de termes, ceux de degré zéro et ceux de 
(63) 
