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fonctions normales du type (SI) ies hyperbesséliennes de la forme générale (80) 
toutes les fois que les paramètres p Sont rationnels. Faisons d’abord une remarque 
sur là formule de (Gauss (SS). 
Lorsque 4 est un entier positif inférieur à p, l’un des nombres q, q — 1... 
qg— p—+T1 est nul, alors au second membre de l'équation (SS) figure nécessai- 
rement le facteur 2! 
Reprenons maintenant la formule (SO) et Supposons les fractions p, ,.….p, ré- 
| NICE fi Ë f = 
duites au même dénomimateur, où p, — Pa Pr =—= TP D Partageons la série 
“ { 
» . SA A “a | @ | 
4 en g séries partielles Ù,, N,,.. N°, 1, telles que dans Ÿ,, par exemple, 
l'indice À parcoure toute la suite des nombres entiers congrus à 7 module g : 
. a | . » . . . . 
autrement dit pour Ÿ, on a à —mg +7, m étant un indice variable de 0 à > 
tandis que g et r sont des entiers fixes dont le premier est plus grand que l'autre. 
Le diviseur du terme général de Ÿ, est évidemment 
(ng + r)! (mf, + q, + rp,)! … (nf Æ qu + pi)! 
et la remarque faite il y à un instant s'applique à son premier facteur. Si l'on 
décompose à nouveau les diverses factorielles par la formule de Gauss, on voit que 
S, prendra la forme normale et sera de l’ordre f + f, +. +f,+g—1; dela 
sorte la série © se trouve décomposée en g fonctions hyperbesséliennes normales 
de l'ordre susdit, La réduction échoue quand p,,... p, deviennent irrationnelles :; 
on à alors affaire à des transcendantes plus élevées ne vérifiant aucune équation 
différentielle linéaire à coefficients polynôomes. 
Fonctions associées. Nous nommerons associée de lhyperbessélienne normale 
Oy toute fonction +, . dont les indices différent respectivement de 4, ,.. 4, 
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de quantités entières et positives, de sorte qu'on à 
(a HE nt, B—= + M, “.s En = Un + Mn 
m,… m, étant des entiers positifs. Nous allons faire voir que toute associée 
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dé, ,, Sexprime linéairement en fonction de Z et de ses dérivées jusqu'à un 
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certain ordre avec des coefficients polynômes. 
En effet si l'on combine convenablement les formules (82), on trouve 
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