28 NOTE SUK I.KS MOUVEMENTS 



que (le l'associalion d'un moili* de varialiori de u avec un de v, eu leur 

 adjoignant, si c n'est pas nul, la variation de cp délinie par l'équation (3). 



Au premier abord il semble que h, h', c, ne peuvent point être choisis 

 arbitrairement, étant déterminés par la position el la vitesse initiales 

 du mobile. Mais pour trouver tous les mouvements possibles, g et k' 

 étant donnés, il revient au même el il est plus simple de regarder h, h', c 

 comme indéterminés, pourvu que d'après la forme de U il existe un 

 intervalle positif où u puisse varier, ou une racine multiple à laquelle u 

 puisse rester égal, et que V satisfasse une condition analogue. 



En effet supposons qu'on ait choisi pour les constantes des valeurs 

 /j,, h,', c, satisfaisant ces conditions; nous allons démontrer que lous les 

 mouvements représentés par une association de formes de variation quel- 

 conques de it et V sont possibles, el cela en attribuant à u ou v s'il est dans 

 un intervalle une valeur initiale quelconque comprise dans riîileriialle, el la 

 supposant à volonté croissante ou décroissante à cet instant. 



Pour le démontrer supposons d'abord chaque valeur initiale de u, v, 

 comprise dans un intervalle, et par suite, différente de o. Nous choisirons 

 la vitesse pour < == o de façon qu'à cet instant en employant h,, /«,', c„ 

 les équations (7), (8), (3) soient satisfaites. 



Sachant si u et v sont croissants ou décroissants, ou connaissant le 



signe de '", j^, les équations (7) et (8) nous donneront leur valeur et 



par suite -^, , ' . On a ensuite 



*^ dt [dt 



dr , dr dz 



r . = r -^ — |- z -.- , 



dt dt dt 



et r' ou i/uv n'étant pas luil, on en déduira ' . L'équation (3) donnera 



ensuite r' J composante de la vitesse perpendiculaire au plan méri- 

 dien. 



Ainsi avec celte vitesse les équations (7), (8), (3) seront satisfaites 

 pour l = 0. 



