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N" 1 1. Comparaison dés nombres de racines des équations V=o, U = o. 

 L'équalion (7) lionne 



U — ik'ii == — fl«' I- hir — 2 [k- + li) ii - c\ 



expression qui se dédnil de V en remplacanl r par — h; de môme 



V — Ah'v se forme de l) en remplarnnl u par — v. Si donc on désigne 

 par a, fi, 7, les racines réelles ou imaginaires de V = o, et par «' , p' , •/' , 

 celles de U = o, on aura identiquement 



V = 3 (1) - a) (v - P) (1- - v) , U = - S (" - a'J (» - p') (»—/') , 



d'où 



( u = 4 fc'K — 3 (u + r,) (u + p) (h + -i) , 

 (17) 



( \ r.-.ik'v -I- s (1^ + a) {V -I- p') {V H- -i) . 



Ces relations nous permellronl de comparer les nombres i, i' déracines 

 qu'on peut attribuera V = o, U = o; nous entendrons par racines dans 

 ce qui suit seulement celles qui sont positives et différentes de o. Des 

 valeurs possibles de «', i' signitienl celles qui permettent des modes de 

 variation de n, v. Nous aurons surtout à vérifier que si un syslhne de 

 valeurs de t, i' est possible, il lesl soit que les racines soient simples ou qu'il 

 y ait entre elles des relations d'égalité quelconques; en d'autres termes, 

 quelles que soient ces relations, elles existeront pour certaines valeurs 

 de h, h' , c, en laissant invariables les nombres donnés g, h\ 



Premier cas : supposotis c > o. Pour que U ne soit pas toujours négatif, 

 comme cela a lieu pour « = o et u = :>= , il fnut que U = o ait deux 

 racines égales ou inégales; ainsi i' = 2; V étant négatif pour v = o, 



V = a un nombre impair de racines, et i = 1 ou 3; mais on peut dis- 

 poser de /(, h' , c, de façon que sauf le signe de — c\ les coeflicicnts de 



V soient quelconques. Supposons tour à tour 



V = g (|i — )//') (i)'- I- n') , V = fl [r — «a) (v — »i[i) (v — Hy) , 



/", a,{i,y étant des nombres positifs choisis à volonté, et n une indéler- 



