uiis <;oiti's ti,iiCTuisï;s. 53. 



;i l'iiilérieur d un coiilour fermé, v\ qim sa Irajerloiie dans le plan esl 

 rcnliaiilesi les périodes /<, />' déliiiies par les Ibrnuiles (22) oui un rap- 

 port rationnel. Si cela n'a pas lien nous déinonireroiis (pie la trajectoire 

 ^/>«/.sr l'aire iiilérieiire an conlour, e'esl-à-dire (pie loule porlioii de celte 

 aire, (piel(]iie ])elite (|u'elle suit, sera traversée par le mobile un nombre 

 iiilini de lois. 



Dans le cas où c>o le mobile dans l'espace circule autour de l'axe à 

 l'intérieur d'une surface de révolulioii de forme annulaire, et l'on peut 

 se demander de même si la trajectoire épuise le volume inlérienr, c'est- 

 à-dire si toute portion de ce volume, ([iiebpie petite (|u'elle soit, (init par 

 être traversée. 



Soit qu'il s'agisse du uiouvenieiil dans un plan ou dans l'espace, la 

 (lueslion revient à la suivante : r\laiil donné nu point 11 (luelconque inlé- 

 rievM' à l'aire on au volume, le mobile liiiira-t-il par en passer à une 

 distance inférieure à tonte grandeur donnée. 



Nous supposerons d'abord qu'il s'agisse d'un point 11 déterminé, donné 

 dans l'espace, et pour exprimer aiialyli(piemenl la condition |)récédeiile 

 nous devons transformer les relations enire n, v, et f. Les variations de 

 u et V ayant la forme (A), nous pouvons poser 



Il = a cos "6 -|- /( sin "0 , v = a ros -6' ^ !>' sin "fj' , 



el nous considérons comme invariables les constantes h, h' , c, de même 

 que les racines «, b, a' , b' , toul(^s positives el différentes de o. Les rela- 

 tions entre 6, 6' et <? sont exprimées par les formules (19) el (21). En 



supppsant ayb, u décroît de a à b quand 5 varie de o à ^-, el croît de 



6 à a quand 6 varie de -^ t: à ti; quelle que soit la position initiale du 



mobile, el soit que m soit alors croissant ou décroissant, nous pouvons 

 donc admettre (|ne b, est compris entre (* el -, et il en esl de même pour 

 £/„'. Nous supposerons que pour le point donné il on ail i^ = p, s = a, 

 5' = a', (3 étant compris entre o et 2?!, « el «' entre o el t:. La valeur de 



