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tangentiel, peut être réelle ou idéale et présente de ce chef une grande variété 
d’aspects. Il en résulte que si on veut passer du cas normal d’une courbe réelle et 
ponctuelle, pour lequel les théorèmes peuvent être regardés comme immédiats, 
aux autres cas, on s’égare bien vite. L’analogie foncière des phénomènes se trouve 
dissimulée sous la diversité des éléments géométriques qui en sont tour à tour les 
agents pour ainsi dire, Le vrai moyen de rétablir lunité consiste évidemment à 
donner d’abord la définition de la courbure sous une forme strictement algébrique, 
puis à déterminer après coup les diverses interprétations dont les formules sont 
susceptibles. Cette tâche est la seule que nous ayons à entreprendre, et elle n’est 
point aussi aisée qu'il peut paraître d'emblée. 
J’opère la réduction du point de vue géométrique au point de vue analytique, 
en étudiant en premier lieu la Cinématique du plan rigide. Le grand avantage de ce 
mode d'exposition est qu'il rattache les unes aux autres, d’une manière organique, 
les questions les plus variées de Géométrie infinitésimale, celle de courbure, de 
développées, de roulement des courbes planes ou des surfaces réglées, ete. Si la 
théorie qu'on va lire est encore, par places, un peu abstraite, je crois du moins avoir 
réussi à supprimer toute difficulté sérieuse, 
Il vaut la peine de rappeler d’ailleurs que le développement de la Géométrie 
non-euclidienne, même dans ses parties lointaines, n’a pas seulement un intérêt de 
pure curiosité. Bien souvent, en effet, les faits se manifestent dans la Géométrie 
non-euclidienne avec une régularité plus complète que dans le cas limite de la 
Géométrie euclidienne. Et comme la symétrie est un principe de classification et de 
découvertes, le passage par l’espace non-euclidien a servi bien des fois à pénétrer 
plus avant dans la science de l’espace ordinaire, ou encore à relier entre eux des 
faits restés longtemps disjoints. 
C’est ainsi que dans la seconde partie de ce travail, la Géométrie hyperbolique 
réglée se présente avec un caractere frappant de simplicité sous l'aspect d’une sorte 
de planimétrie imaginaire, Il s’en faut que la Géométrie euclidienne réglée, quoique 
contenue dans l’autre comme cas particulier, offre au même degré cet avantage; 
la supposition d’un module infini altère les phénomènes, trouble ou détruit la 
symétrie, engendre les exceptions. Il est donc utile d'étudier d’abord la théorie, en 
Géométrie hyperbolique, à son état de pureté. On sera ensuite mieux à méme de 
comprendre le cas plus important, mais moins régulier, de la Géométrie ordinaire. 
Le lecteur voudra bien aussi remarquer les rapports établis au paragraphe [V 
entre les diverses formules de la courbure euclidienne, suivant le système adopté 
pour les axes coordonnés. La ressemblance remarquable que possèdent ces formules, 
quelle que soit la nature des coordonnéés employées, linéaires ou tangentielles, 
polaires, rectangulaires ou podaires, ne s'explique d’une manière satisfaisante que 
