32 C. CAILLER 
Mais les conditions d’intégrabilité montrent que p dépend seulement de +, q 
de y, et » de 2; en outre leurs dérivées p', q', r' devant vérifier les équations 
p+g'=qg +r=r +p —=0, 
p',gq',r! sont nulles, et p, g,r sont constants. En résumé, puisque X, Y, Z sont 
nulles à l’origine, on aura 
X—qe—7ry, Y—rx—pz, Z—py—qx, (6) 
et ces valeurs vérifient bien la relation (1), quelles que soient les constantes p. q, r. 
Nous désignerons le plus souvent par (g2), (ræ), (py) les déterminants des seconds 
membres de (6) ; par suite (1) est résolu par les formules 
NE (0e) NN) DA (0) 
Soient maintenant £, r, £, les coordonnées homogènes d’un point du plan de 
Lobatchewski, et f(£, 7, 2), la forme fondamentale de la Géométrie hyperbolique. 
On peut toujours supposer, comme on sait, f = © — ;? — ?; mais ce choix par- 
ticulier ne devant entrainer aucune simplification, nous laisserons f indéterminé et 
nous admettrons simplement que le discriminant A de cette forme est positif. Tout 
ceci s'applique au plan elliptique en prenant f—= © + ;? + #?, et À — 1. 
Ne quittons pas le premier cas, f est décomposable en un carré positif et deux 
négatifs. Nous admettrons que si un point P(£, x, £) se meut dans le plan hyperbo- 
lique, ses coordonnées changent, mais non pas f(£, x, £) qui restera constant. La 
valeur de cette constante pourrait changer d’un point à un autre; mais nous ferons 
presque toujours la convention inverse en stipulant que pour tous les points réels 
on à f — + 1, tandis que l'équation f — — 1 caractérisera les points idéaux. 
Enfin les points à l'infini, étant placés sur la conique fondamentale, donnent f — 0; 
ces derniers points sont exceptionnels et nous n’aurons presque jamais à en parler. 
Ces diverses conventions étant bien précisées, l’invariant de deux points 1 et 2, 
avec les diverses interprétations géométriques que comporte cet invariant suivant la 
nature réelle ou idéale des éléments 1 et 2, est donné par la formule 
a E LR Na de Co 2) = : (3 ï < 11 de 
one 
Dee 
dr (7) 
(P] 
En particulier, si nos points sont infiniment rapprochés, on affectera plutôt le 
second de l'indice 1’, en posant £, = —%, + A%,, .. ; moyennant quoi l'in- 
variant s'écrit, l'indice étant supprimé comme superflu, 
fe SE ne ER 
PA D 0 
