SUR LA NOTION DE COURBURE 3) 
Si on substitue dans (12) les valeurs (13) de 4£,.... d£,,... en fonction de 
DÉS X,,..., cette formule se transforme en 
S (o£u due + Das ds V0 
= DE, oX, DES OX, ; 
Mais on a identiquement 
x — GX mi +62). 
par suite en dédoublant 
N dfir Vgse | Von VE 
(Ge. CR dE OX, 
MAN ENCEINTE) 
La condition (12), ou son équivalente (12’), prend ainsi la forme 
XXE HXSE, E Yiro + Yor, ol) ; (15) 
pour laquelle nous avons obtenu le théorème du $ 1. D’après ce lemme nos auxi- 
liaires X, Y,Z s’e 
xpriment, au moyen de trois paramètres auxiliaires, Comme suit 
X — (dË) , MANN E (Pr) ; (16) 
telles sont les valeurs à porter dans les formules (13) ou (14) pour obtenir les com- 
posantes d£, dy, d£ du déplacement d'un point quelconque de notre plan rigide non- 
euclidien. 
Il est aisé de reconnaitre dans ces diverses équations l'équivalent des règles 
connues, en particulier celle concernant le centre instantané de rotation. Remarquons 
à cet effet que les auxiliaires X, Y, Z introduites ci-dessus, dans la formule (14) par 
exemple, ne sont autre chose que les coordonnées homogènes de la normale à la 
trajectoire décrite par le point P(£, », 2). 
En effet, lorsqu'un mobile Q(£, H, Z) se déplace en restant à égale distance 
de deux centres fixes P, (£,,...) et P,(4,....), autrement dit quand Q trace la per- 
pendiculaire élevée au milieu du segment P,P,, les invariants /= :, et f= :, étant 
égaux, on à f-+;,_: — 0, Quand P,P, est infiniment petit, la condition précédente 
è ) E,£9 —E v 172 ) I 
devient 
s E of H à Z df 
fus For Fose—0: 
RE 2 od£ 2 ddr 2 dde 
on le voit, les coordonnées homogènes de la normale ainsi tracée sont en effet propor- 
tionnelles aux quantités (14). Pour bien comprendre le calcul qui précède, il n’est 
pas inutile de rappeler que la notion de normale n’a de signification intuitive que 
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