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en observant que les déplacements ainsi définis s’operent sur la droite P,P, et don- 
I il 
nent 9/12 — 0. Développons alors les émanants (24) sous la forme 
7 e of : L of LE 
PSE MO RE ENT TE Æ Se Er 
Laë,, 3, — dE, 951 ie 52 = dE 2 
NA % Ô 
et remplaçons-y les 97, … par leurs valeurs (25) et les Sd “+ Par leurs valeurs 
“ Ou 
(14), on obtient, au lieu de (24) 
file Li + RE Vire Æ Yon + 26 + 26)=0, 
relation identique à (15). En résumé, le théorème (24) n’est qu'une forme un peu 
différente des identités (12) ou (15) qui définissent le mouvement du plan sur lui- 
même, 
Pour appliquer ce théorème (24) à la détermination des déplacements d2,, … 
il suffit de faire coïncider 2 avec l'élément invariant C(p, q, r) ; cela fait disparaitre 
le second membre, car d£, … étant nuls, fx, 3, l’est aussi. On voit done que la série 
linéaire définie par le point P(£,….) et le centre © d'une part, et la série linéaire 
définie par les points infiniment voisins P(E,…) et P(4 + dé, …) d'autre part, 
ont un invariant nul. 
Si une de ces séries est une droite et l’autre un point dans le réel, la droite 
contient le point ; si ce sont toutes deux des droites réelles elles sont perpendicu- 
laires ; enfin les deux séries ne peuvent pas représenter toutes les deux des points 
réels. 
La règle précédente détermine dans tous les cas la direction du chemin infini- 
ment petit décrit par P(4, ..) : elle donne des résultats conformes à ceux indiqués 
ci-dessus. 
S 3. Couples de Points et Formule fondamentale. 
Les deux points 1 et 2 qui servaient à déterminer le mouvement du plan mo- 
bile étaient jusqu'à présent tout à fait arbitraires. Nous supposerons désormais qu'ils 
forment un couple, c’est-à-dire qu'ils sont conjugués par rapport à la conique fonda- 
mentale, ou vérifient la condition fs — 0. Cette condition, qui correspond à celle 
de la perpendicularité dans la Géométrie sphérique, peut évidemment être satisfaite 
d'une infinité de manières; au point de vue de la réalité, un couple 1,2 présente 
diverses apparences suivant la nature de ses deux composants. 
Si un des composants est réel, l’autre est idéal. Mais les deux composants 
