SUR LA NOTION DE COURBURE 49 
Substituons ces valeurs dans l'équation f5: — f(Ëë:, …), 1l vient 
ou, le dernier terme étant nul, 
122 — lulu, d£i 
ds ‘ds 
Ainsi l’auxiliaire d; a pour signification 
la formule fait immédiatement reconnaitre le signe à adopter pour f5 — + 1. La 
quantité 5, dont le sens de variation est resté arbitraire, prendra le nom d'arc de la 
courbe P,(£,, …) ; quant au signe de P, conjoint de P, il dépend, par lintermé- 
diaire des formules (40), du sens positif choisi pour la variation de 5. 
En même temps que P, et P,, considérons un troisième point P,(£,, 7,; ,), 
formant avec les deux premiers un triangle autopolaire. On doit avoir fi3 — 0, 
fa = 0, d'où, en fixant à volonté un signe ambigu, 
dé, dr d£ 
PR MP — OR ER (42) 
La — , ": [æ 
3 do 3 do v 3 ds 
Nous avons maintenant, à la place d’un point unique, un triangle rigide 
1, 2, 3. Si au lieu de points idéaux, on veut revenir aux objets réels dont ils sont 
les images, on est conduit aux distinctions habituelles. 
1° Supposons que 1 est réel, par suite 2 est idéal. Dans le réel 2 représente 
la tangente à la courbe P,; 3 est aussi idéal, dans le réel c’est la normale à la 
courbe P;. 
29 Supposons au contraire 1 idéal, mais 2 réel. Alors 1 est la tangente enve- 
loppant une courbe réelle dont 2 est le point de contact. L'élément 3 est encore ici 
la normale à notre courbe. Ce cas correspond au précédent par dualité. 
3 Supposons 1 et 2 idéaux tous les deux. Dans le réel, ce sont deux droites 
rectangulaires, 3 est leur point de concours; c’est à la fois le point central de la 
droite mobile 1 et de sa perpendiculaire 2. 
