SUR LA NOTION DE COURBURE 57 
Enfin les courbures des lieux P1(4,.) et P2(3%, ..) sont données par 
(55) 
dr, PE, | 
Coordonnées particulières. 
L'expression (55) obtenue plus haut pour la courbure possède, bien évidem- 
nent, le caractère d’invariance par rapport aux mouvements qui changent la forme 
f en elle-même, et cette propriété d’invariance persiste même quand on exécute 
sur les coordonnées une transformation linéaire quelconque. On peut done, dans le 
calcul de (55), employer au lieu de 2... les coordonnées #, #, w, de la droite 
polaire de P(4,….); cette remarque trouve son application plus bas. Il convient 
d'ajouter que la courbure c, du lieu P, ne se réduit à zéro que dans le seul cas où 
2,»", € Vérifient, pendant le mouvement, une équation linéaire homogène telle que 
a + bn + ce — 0 
Cela posé, rappelons qu'il existe trois systèmes principaux de coordonnées: ils 
sont de simples variétés du premier d’entre eux et different les uns des autres seule- 
ment par la position de leur centre relativement au cercle fondamental. Nous prenons 
désormais 
f=r-f—#, et A—=1 
Premier cas. — La courbe est réelle, les coordonnées employées sont les 
polaires, rayon vecteur et angle: elles sont telles que 
ch 
sxx 
r Fr Ve 
n —Sh C0 6., € — sh} sin 6 : 
k 
k ? le 
ou bien les rectangulaires, abscisse et ordonnée, telles que 
= hE che : 1h} ch? à SR 
Y 
k 
