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et alors les coordonnées mixtes let } désigneront l’abscisse du point d’intersection 
et l’angle TOX. 
En substituant ces diverses valeurs dans le déterminant (55), on trouve par 
des calculs semblables à ceux développés dans le premier cas, les expressions sui- 
vantes pour la nouvelle courbure tangentielle: dz y représente, comme ci-dessus, 
l'angle de contingence. 
1 0 ch d 0 0 : 
a — que A 1= L ñ€ 
Er (cr TE [a th E + tgh 4 ; (29) 
re Et æ\ d q Een £ 
Co = A = — F (sh ke FES dp° coth E Te coth 2] n (60) 
1 AS GMEGE : 1 S à 
Co = ë = + k (sin À. a) [F COË } — JE cot : | £. (61) 
Troisième cas. — Les points 1 et 2 sont devenus tous les deux idéaux. La 
droite mobile T,(«, v, «) qui sert de représen- 
tant réel au premier enveloppe une courbe 
idéale; cette courbe (fig. 4) possède ainsi une 
ligne de striction réelle. T; est la perpendicu- 
laire élevée à T, par le point central de cette 
droite. Il y a d’ailleurs réciprocité entre ces 
éléments T, et T,; eux-mêmes et leurs voisins 
forment un rectangle; la courbure du lieu en- 
gendré par le mouvement de T, est, par défini- 
tion, égale au rapport des côtés de ce rectangle 
PP; dd 
PP, di 
tera, d’une manière analogue, la courbure du lieu conjoint T, . 
D'après les formules (10) et (11), pour obtenir, dans le cas qui nous occupe, 
la courbure en coordonnées polaires, normales où mixtes, il suffira de reprendre les 
Fig. 4. 
. L’inverse de ce rapport représen- 
: re Are À dù 
équations (59) à (61) du cas précédent et d’y remplacer partout dz par 7 
substitution des coordonnées de T,, au lieu de celles de T;, changera cette cour- 
. La simple 
bure en son mverse. 
Enfin, si dans les formules des trois cas, on fait À — w, on obtiendra, comme 
cas limite, les valeurs de la courbure euclidienne, exprimées dans les mêmes coor- 
données polaires, rectangulaires, podaires ou mixtes. C'est par cette origine com- 
