62 C. CAILLER 
jeté sur la perpendiculaire à la génératrice, on d; — ds sin w. La condition de cor- 
respondance est celle de l'égalité entre les intégrales 
2P apr 
| ds Sin w — | ds! sin w! . 
z 
Dans ce genre de roulement, dit de froisième espèce, on transporte successi- 
vement les droites P de la première figure sur leurs correspondantes P' de la 
deuxième en faisant coïncider les points centraux. Lorsque les deux faisceaux roulent 
ainsi l’un sur l’autre, les faisceaux orthogonaux, composés des perpendiculaires 
menées aux génératrices P, P’' par les points centraux N, N’ exécutent eux aussi un 
certain mouvement de roulement; mais la condition de correspondance a changé de 
forme, les cosinus y prennent la place des sinus. Cette nouvelle espèce de roule- 
ment se produit done toujours en même temps que l’autre, aussi me dispenserai-je 
de la mentionner dans la suite, et les mots roulement de troisième espèce seront 
toujours pris dans le sens primitif indiqué ci-dessus. 
Comme dans les $$ précédents, il suffit de se laisser guider par l’analogie avec 
les faits bien connus de la Géométrie plane pour obtenir, d’une manière toute natu- 
relle, les propriétés caractéristiques du roulement lobatchewskien ; on obtient, 
comme toujours, des résultats sensiblement plus compliqués. 
Avant d'aborder cette étude qui fera l’objet du $ suivant, prenons d’abord le 
mouvement exécuté par la droite invariable P, P, lorsque le premier composant 
du couple P, P; décrit la courbe C. Nous allons voir que cette droite roule sur la 
développée de C. 
En effet, le centre de courbure O est déterminé par les formules (37) et (54), ou 
Edo, =VA(GA, —&A,) ,; mdr, — VAGA AA) 
‘0 
bd, = V/A (GA, — EA)) . 
Or selon qu’on veut suivre le point O (%, …) dans son mouvement absolu sur 
le plan fixe, ou relatif sur la droite P, P2, on aura à différentier les formules qui pré- 
cèdent en faisant varier toutes les lettres ou, au contraire, en maintenant invariables 
A, … et &, … Mais c’est indifférent, car, pendant le mouvement du couple, les for- 
mules de Frenet sont vérifiées, elles donnent 
Ad AE, — À, dr, À, dr, — A,dt, — À, HE DE 
Autrement dit, en désignant par les indices « et » les mouvements absolu et 
relatif, nous avons 
