SUR LA NOTION DE COURBURE 63 
d, F0 — d, 50 ? A7 = d, #0 > d, = d Eo : 
et de là résulte que les arcs franchis par O sur la développée ou sur la droite P; P; 
sont égaux. En outre, le point 3 est conjoint de O aussi bien pour le mouvement 
relatif que pour le mouvement absolu; les deux conditions du roulement étant ainsi 
satisfaites, la droite P4 P, roule sur la développée. 
La recherche des développantes d'une courbe se rattache tout naturellement à 
la propriété précédente; pour la clarté, il faut toutefois remarquer ce qui suit. 
Lorsqu'on cherche la développée d’une courbe, il est indifférent de savoir si 
cette courbe, supposée réelle pour fixer les idées, est engendrée par le mouvement 
d’un point ou, sous le point de vue tangentiel, par le mouvement d’une droite, sa 
tangente. Le passage d’un des points de vue à l’autre s'opère dualistiquement en 
alternant les conjoints 1 et 2; le centre de courbure, et partant la développée, ne 
change donc pas. De même, pour un faisceau à ligne de striction réelle, l'échange 
de la génératrice 1 avec sa perpendiculaire 2 est sans effet. 
Dans la recherche des développantes, il importe au contraire de distinguer soi- 
gneusement le point de vue tangentiel du ponctuel. Le même lieu géométrique ad- 
mettra des développantes toutes différentes suivant que l'élément générateur est un 
point ou une droite; il nous faut donc de nouveau employer les classements habi- 
tuels. : 
Premier Cas. — C’est celui, très simple, où la courbe O est réelle et ponctuelle. 
La ligne qui roule est la tangente, 
les développantes sont les trajec- 
toires des divers pointsde cette droite, 
et comme le centre instantané est au 
point de contact, les développantes 
sont équidistantes et parallèles. D’ail- 
leurs le faisceau linéaire P, P, con- 
tient encore des éléments idéaux 
qui sont les perpendiculaires élevées 
aux différents points de cette droite ; Fig. 6 
ces perpendiculaires engendreront 
les mêmes développantes sous le point de vue tangentiel. Tout ceci est bien connu 
et conforme aux théorèmes de la Géométrie ordinaire. 
Deuxième Cas. — Si la courbe réelle O est le lieu d’une droite mobile 0’, 
(fig. 6) alors la série linéaire qui lui correspond dans le plan mobile est formée derayons 
issus d’un point O. Figurons à part ce faisceau par deux de ses rayons OP, et OQ. 
Ils correspondent respectivement aux tangentes OP; et O/Q' de la courbe donnée, 
