74 C. CAILLER 
$ 9. Généralités sur la Géométrie réglée de Lobatchewski. 
Les recherches de divers géomètres, notamment de M. Study, ont montré que 
la Géométrie hyperbolique à trois dimensions présente, avec la planimétrie ellip- 
tique, la plus frappante analogie. Il suffit, pour faire apparaitre le parallélisme des 
deux théories, de prendre, comme élément d'espace, non pas le point mais la droite, 
ou, si l’on veut, de mettre en correspondance les & * droites de l’espace réglé de 
Lobatchewski avec les & * points imaginaires du plan de Riemann. On peut, à la 
place du plan elliptique, se servir de la sphère euclidienne pour le même usage‘. 
Toute géométrie particulière est complètement définie par la structure de son 
groupe des mouvements. Ainsi, l'identité foncière de la Géométrie réglée hyperbo- 
lique avec la planimétrie riemannienne provient du fait que le groupe de l’espace 
réglé est isomorphe au groupe orthogonal ordinaire des rotations autour d’un point, 
du moins lorsque les paramètres de ce groupe orthogonal cessent d’être réels pour 
devenir complexes. 
On conçoit donc comment la théorie de la courbure exposée ci-dessus peut 
être transportée directement à la Géométrie hyperbolique réglée. Au point de vue 
analytique, le passage consiste simplement à remplacer la forme f dont nous avons 
parlé par f = à? + y? + 2, tout en admettant des valeurs complexes pour les in- 
déterminées x, y, z. Chacune des déterminations x, y. z. représente une droite de 
l’espace; ainsi les monoséries æ(4). y(t). 2(t) ne sont plus des courbes, mais des 
surfaces réglées. 
L'une des Géométries sert d'image à l’autre. Par exemple, toutes les formules 
données plus haut pour la courbure, le roulement, etc., des courbes planes, expri- 
ment certaines propriétés des surfaces réglées, et on peut dégager la signification 
géométrique de ces propriétés par une interprétation convenable. C’est à cette 
sorte de traduction qu'est consacrée la dernière partie de ce travail. Mais avant de 
l'entreprendre, il nous faut d’abord étudier dans ce K le principe même de la cor- 
respondance entre les deux Créométries. Nous nous bornons à un bref aperçu sans 
entrer dans les détaiis. 
La droite. — On sait qu'en Géométrie hyperbolique à trois dimensions les 
! M. R. de Saussure, dans deux mémoires, Sur la Géométrie cinématique réglée et Sur le calcul géomé- 
trique réglé, insérés à l'American Journ. of Mathematics (vol. XVIII et XIX) avait déjà établi une corres- 
pondance analogue pour la Géométrie euclidienne. 
