SUR LA NOTION DE COURBURE ip 
Nous n’aurons plus dans la suite à considérer les droites idéales: la raison en 
est la suivante. Prenons une droite quelconque et associons-lui sa conjuguée par rap- 
port à la sphère de l'infini. Les deux droites forment un couple, à correspondance 
biunivoque et réciproque, chacun des éléments du couple peut servir de représen- 
tant à l’autre et au couple entier. Or, de ces éléments, un et un seul est toujours 
réel. 
En invoquant le fait que deux points placés à volonté sur les deux droites 
conjuguées sont eux-mêmes conjugués, nous obtenons presque immédiatement les 
relations qui existent entre les coordonnées de deux droites conjuguées; ce sont 
nt 7 Tr, L —m ñ 
Bien que nous n’ayons plus à envisager désormais que des droites réelles, 
donnant 5 = + 1, il est important de se rappeler constamment l'existence de la 
conjuguée qui forme, pour ainsi dire, la réplique idéale de toute droite réelle donnée. 
C’est par là qu'on s’expliquera le caractère binaire des propriétés de la droite, le 
fait de l’existence de deux mvariants réels pour deux droites données, etc. 
Le mouvement. — Passons à l'étude du mouvement dans l’espace hyperbo- 
lique et proposons-nous de déterminer l'effet produit sur les coordonnées linéaires 
D({,.. r) par un déplacement quelconque. 
Au point du vue ponctuel, un déplacement est une des transformations du groupe 
projectif, à déterminant + 1, qui laisse invariante la forme f — £? — ;? — #7 — =; 
soit H ce groupe. Il est clair que toute transformation de H transforme linéaire- 
ment les mineurs (En) (rés). L'ensemble des déplacements constitue donc, en 
l, M, n, p, q, r, un groupe linéaire G à six paramètres, isomorphe au groupe 
ponctuel H. 
Représentons toujours par ©, ou »,,, la forme À + 2 Æ n° — jf — @ — 
par +,, l'émanant relatif à deux droites D, , D,, dont la première a été obtenue, par 
exemple, en joignant les points 1! et 2’, et la seconde en joignant les points 3’ et 4”. 
Empruntons à la théorie des formes adjointes l’identité bien connue 
EN RER 
Son premier membre ne change pas quand on exécute une des transformations 
du groupe H ; donc le groupe adjoint G laissera v,, invariant. On peut dire que G 
appartient à la fonction o 
Cette propriété ne suffit pas pour déterminer (Gr; je dis que G laisse encore 
MÉM. SOC, PHYS. ET HIST. NAT. DE GENÈVE. VOL. #7 (1911). 10 
