78 C. CAILLER 
invariant le trinôme /p + mg + nr. En effet, si le mouvement change /. 5», r 
en L, M, R, le trinôme LP + MQ + NR doit se réduire à zéro toutes les fois 
que /p + mg + nr est nul, ou que D(Z, »,… r) représente une droite. On aura 
done identiquement, pour toute transformation de (x, 
LP + MQ + NR — «(lp + mg + nr) . 
Enfin, puisque le déterminant de G est l’unité, et que af est l’invariant de la 
transformée, on à nécessairement aî — 1; or G est continu et possède la trans- 
formation identique, donc a — 1. 
En résumé on peut dire que le groupe G, à coefficients réels, laisse inva- 
riantes les formes 2 + m° —Æ n° — p? — q? — 72, et 1p Æ mg + nr. C’est dire 
qu’il laisse invariante la forme complexe © + 2% ({p + mg + nr), ou 
(+ ip} + (m + iq)ÿ + (n + ir} . 
Représentons dès lors par 2, w, » les trois coordonnées complexes de la droite, 
définies comme suit 
I—=i+ip, u—mEiÿg, v—n+ir. 
Le groupe G n’est plus que le groupe orthogonal ordinaire laissant invariante 
la forme 2? + 4? + ?: en effet, le décompte des paramètres du groupe ortho- 
gonal complexe montre que G@, qui est d'ordre 6, n’en peut pas être un sous-groupe. 
Pour obtenir la forme explicite de G, il suffira de prendre les formules ordi- 
naires de O. Rodrigues et dy remplacer les paramètres réels e, f, g, h par des 
quantités complexes quelconques. Les équations ainsi transformées contiennent six 
paramètres réels; le retour du groupe G ainsi constitué au groupe ponctuel H est 
facile, mais sans utilité pour nous. 
Invariant de deux droites. — La quantité 1 — 2,2, + mu, + »,%, est l’in- 
variant fondamental du groupe G ; nous avons à en rechercher la signification géo- 
métrique. 
En premier lieu, si deux droites se rencontrent sous un angle droit, nous ayons 
I — 0, car on pourrait les prendre comme axes coordonnés OX, OY, et pour ceux-ci 
HEIN EUE et dl e=0" 
ce qui donne | — 0. 
Réciproquement, si I — 0, je dis que nos deux droites D; (21, …) et Do(a, …) 
se coupent à angle droit. En effet, la première étant choisie pour axe OZ, la con- 
