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Nous sommes maintenant à même de déterminer dans tous les cas la signifi- 
cation de l’invariant I. La voici. 
Tirons la perpendiculaire commune aux droites D, et D:, soient £ sa longueur (le 
module # de la Géométrie de Lobatchewski est pris comme unité pour simplifier 
l'écriture), z l'angle des deux droites mesuré par celui de deux plans respectivement 
perpendiculaires à chacune et menés par la perpendiculaire commune. On à alors 
(== DE + Ua a + Y,%a — COS (x + Bi) . 
L'application correcte de cette formule exige qu'on ait fixé avec précision la 
valeur de z parmi toutes les déterminations possibles de cet angle. 
Convenons que G est toujours positif ; plaçons un observateur le long de la per- 
pendiculaire commune, les pieds en Di, la tête au delà de D:, + est alors l’angle po- 
laire dont il faut faire tourner, de la gauche à la droite de cet observateur. la ligne 
D, pour qu’elle soit recouverte par D,. L'ordre de numérotation des droites est sans 
effet sur la quantité z + fi, tandis que le renversement d’une seule d’entre elles, 
changeant > + Gi en 7 + > + Gi, transforme I en — I comme il fallait. 
La justification de la règle est facile. Prenons en effet les équations paramé- 
triques d’une demi-droite D, issue d’un point P(E, x, £, =) perpendiculairement à un 
plan Q(u, v, #, t) qui passe en P. Ce sont 
E —£chs— ushs , Z—&tchs +uwshs , 
H= »chs Evshs, D RCRS ENISRS 
Les coordonnées absolues /, 2, n, p, q, r de cette demi-droite se déduisent done du 
schéma 
A ñ a TAN 
— Ù a l 
Choisissons D, pour axe OZ, et supposons que D,, perpendiculaire à OX, le 
rencontre à la distance B de l’origine, tout en faisant avec OZ l'angle > défini 
ci-dessus. 
Les éléments du schéma précédent sont 
chB sh G 0 0 
0 0 — Si à COS & , 
et les valeurs qui en résultent pour /, 2, #, p, q, r, sont 
0, — chBsinz, chBcosa, 0,—sh£Gcosx, —shGsina, 
d'où 
—V0}# = — sin (& + Gi) ° y — COS (x + Bt) . (76) 
et. 
