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Pour éclaircir ce point, traitons un exemple particulier et cherchons la sur- 
face dont la courbure complexe est constante. Soit, pour abréger 2 — VI +, 
prenons pour système d’axes coordonnés la position initiale 5; — 0 du trièdre 
D, D:D;. L'intégration du système de Frenet (79) nous doune immédiatement 
o 
È Il ; Ie 
1 —=$& —+ S cos ds D — de (L — cos ds) , = —&SinÛT ,; (80) 
Norris 5 RM CEE 1 5 
1 + -° cos ds 
2, = & (1 — cos d), D : V A SMÔT , (81) 
2e 2 2 
LRRne ds a y, — COS Da 82 
re 0 HS SM 07 % — COS ÔS , (82) 
et il semble qu’on soit en présence d'équations complètement déterminées pour re- 
présenter la surface. Mais en réalité il n’en est rien, car & étant complexe, peut se 
décomposer en 5 — + + Gi, et les formules précédentes qui dépendent implici- 
tement de deux paramètres + et 5 définissent une bisérie de positions. 
Les surfaces cherchées seront toutes celles dont les génératrices appartiennent 
à la congruence (80), laquelle est complètement déterminée par la condition 
7h T7: 
Pour le dire en passant, cette congruence, comprenant toutes les droites d’in- 
variant constant par rapport à un certain axe fixe, joue dans la Géométrie réglée 
un role presque identique à celui du cercle en Géométrie plane. La propriété qu'ont 
les surfaces de la congruence au point de vue de leur courbure complexe est un 
exemple de cette analogie. 
Pour montrer sur un second exemple lintérêt qui s'attache à cette notion de 
courbure complexe, considérons une surface développable de la première catégorie 
dB — 0; c’est une développable comme celles qu'on étudie dans la Géométrie ordi- 
naire. 
Quand la droite D, enveloppe l’arête de rebroussement, D, est sur la binor- 
male, D, sur la normale principale à cette arête. Il est clair qu’en désignant par 
ds Vélément de Parète, par L la courbure, et par £ la torsion de la courbe, les élé- 
2] 
l 
ments do, et ds, ont les significations 
ds ds 
“À Er d 7 
2 
