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daß die Zeilen, deren Zahl 13 beträgt (wir wollen sie kurz die 13er-Zeilen 

 nennen), minder steil geneigt sind als die 2 1 er-Zeilen, Jetzt wollen wir 

 einmal daran geben, die Zeilen des Systems abzuzählen, welches durch 

 die Anfangswarze und die sehr wenig schräg über ihr gelegene Warze 

 verläuft; als Resultat erhalten wir unbedingt 34 Zeilen. Die Zahl der 

 Zeilen des Systems aber, dessen erste Zeile durch die rechts und links 

 seitlich gelegenen "Warzen verläuft, beträgt, wie wir uns leicht überzeugen, 

 acht. Wir haben also an dieser Mainillaria vier Zeilensysteme vor uns : 

 die beiden Berührungszeilens3''steme nach den 13 er- und 21 er-Zeilen und 

 die beiden anderen, die Diagonals^^steme, nach den 8er- und 31: er-Zeilen. 



Alle früheren Bestimmungen, welche sich hierauf beschränkten, die 

 Zahl von Spiralzeilen an einer Mainillaria anzugeben, um die Art zu 

 charakterisieren, sind deshalb ungenügend und unbrauchbar, weil wir 

 nicht wissen, ob diese Zahl das höchstzifferige oder ein System mit 

 niedrigeren Ziffern bezeichnete. Wenn neben dem beobachteten Spiral- 

 zeilensysteme noch drei anderweitige mit ganz anderen Zahlenverhält- 

 nissen vorhanden sind, so kann selbstredend ein solcher Charakter, den 

 De Caxdolle und Martius gelegentlich in die Diagnose eingeführt 

 haben, keine Verwertung finden. 



Die obigen Angaben über M. clegans gelten nur für Exemplare, 

 die ihr volles Wachstum erreicht haben, bei denen eine Vergrößerung in 

 der Dicke nicht mehr stattfinden kann, wenn immerhin sie noch sehr wohl an 

 Länge zunehmen können. Einjährige oder auch zweijährige Keimpflanzen 

 derselben Art geben uns andere Verhältnisse. AVir finden an vorjährigen 

 Sämlingen als die Zahl der Berührungszeilen nicht 13 und 21, sondern 

 8 und 13, an diesjährigen aber nur 5 und 8. Bei allem Wechsel 

 aber bewegen sich diese Zahlen so gut wie ausnahmslos mit der größten 

 Gesetzmäßigkeit in dem vorgeschriebenen Rahmen. Die Zahl der Diagonal- 

 zeilen steigt und sinkt dann in demselben Verhältnis, sie beträgt bei 

 den ersteren 21 und 5, bei den letzteren 13 und 3. Die Zahlenreihe, 

 die wir auf diese AVeise erhalten, ist sehr bemerkenswert. Ordnen 

 wir uns dieselbe so an, 'daß wir mit dem von uns aufgefundenen 

 niedrigsten Werte (3) beginnen und mit dem höchsten (34) schließen, so 

 ist sie folgende: 3, 5, 8, 13, 21, 34. Die Gesetzmäßigkeit dieser Reihe 

 prägt sich schon in der Thatsache aus, daß jede folgende Zahl erhalten 

 wird, wenn wir die beiden vorhergehenden addieren, also die dritte 

 8=5^3, die vierte 13 - 8 + 5, die fünfte 21 = 13 + 8 u. s. f. 

 Ständen uns sehr große Mamillarien zur Verfügung, so würden wir 

 vielleicht noch weitere AVerte finden; zunächst würden 21er- und 34er- 

 Berührungszeilen zu erwarten sein, denen die Diagonalzeilen der 55er 

 und 13er entsprechen müßten. 



AVie nun P. De Caxdolle durch die Angabe einer Zeilenreihe bei 

 der Beschreibung einer Art zu w^enig gethan hat, so brachte Martius, 

 wenn er bei der Beschreibung seiner Main. Karivinskiana*) angab, ,.dic 

 AVarzen sind in schiefen Reihen geordnet, an manchen Stücken nämlich 

 zu 5, 13, 34, an anderen zu 8 und 21", zu viel. Diese Zahlen können 

 keine Bestimmung gewähren, weil sie sichtlich von verschiedenaltrigen 

 Exemplaren stammen, oder von solchen verschiedenen Stellen des Körpers 

 entnommen waren, welche die volle Ausbildung noch nicht zeigten, Die 



*) Martius in Nov. act. XVI. (1.) .3.35. 



