Geometrisches zur Zahlenlehre. 315 
zur y„—Axe, so schneiden dieselben die —Axe in Gitterpunkten 
und theilen sie dabei in m gleiche Theile, woraus ersichtlich ist, 
dass a ein Vielfaches von m ist, und ähnlich für db. (Fig. 3.) 
Nun wählen wir den Gitterpunkt («,, B,) beliebig aber um 
Weitläufigkeiten zu vermeiden so, dass das Dreieck (o, 0), (a, b), 
(&, 85) positiven Umlaufsinn hat (Fig. 3.). Unter Voraussetzung 
des in $. 1 benützten Flächenmasses ist dann bekanntlich der 
Inhalt dieses Dreiecks gleich 
aßo = ba = 
Das Dreieck enthält nun mindestens (m + 2) Gitterpunkte auf 
seiner Berandung, nämlich (m + 1) solche auf der Grundlinie 
(0, 0), (a,b) und ausserdem die Spitze (co, Bo). Enthält es ausser 
diesen auf seiner Berandung oder im Innern noch mindestens 
einen Gitterpunkt, so machen wir diesen zur Spitze eines neuen 
Dreiecks über derselben Grundlinie. Das neue Dreieck ist kleiner 
als das alte, und kann offenbar abermals verkleinert werden, 
wenn esimmer noch mehr als die nothwendigen (m + 2) Gitter- 
punkte enthalten sollte. Nach einer endlichen Anzahl von 
Schritten (da die Gesammtzahl, der im Ausgangsdreieck ent- 
haltenen Gitterpunkte ja endlich sein muss) gelangt man also 
offenbar zu einem Dreieck mit der Spitze («, ß), welches nur 
mehr jene nothwendigen (m + 2) Gitterpunkte auf seiner Be- 
randung und keine in seinem Innern besitzt und dessen Inhalt 
also gemäss $. 1 gleich m ist. Sonach hat man 
aß —be=m, 
was der zu beweisende Satz ist. 
8. 3. Näherungsbrüche. 
Die Lehre von der näherungsweisen Darstellung reeller 
Zahlen durch gekürzte Brüche ist neuerdings von Hn. Hurwitz 
systematisch entwickelt worden!). Wir folgen hier genau dem 
von Hn. Hurwitz eingeschlagenen Wege, indem wir nur überall 
die arithmetische Schlussweise durch Ueberlegungen an der 
Gitterfigur ersetzen. Die geometrische Darlegung zeigt sich 
dabei an Kürze und Uebersichtlichkeit wesentlich im Vortheil. 
ı) „Ueber die angenäherte Darstellung der Zahlen durch rationale 
Brüche.“ Math. Ann. 44. 
