316 Georg Pick: 
Kürze halber wollen wir im Folgenden die Verbindungs- 
strecke zweier Gitterpunkte, wenn dieselbe keinen weiteren 
Gitterpunkt enthält, eine Elementarstrecke, und ein Dreieck, 
welches ausser seinen Ecken keinen Gitterpunkt enthält, also 
den Inhalt Eins besitzt, ein Elementardreieck nennen. 
Wir verwenden ein Coordinatensystem, wie in $. 2, und 
sehen in bekannter Weise den Bruch z als durch den Punkt 
(z, y) geometrisch repräsentirt an, so dass also Brüche gleichen 
Werths immer auf einer Geraden durch den Nullpunkt liegen. 
Gekürzte Brüche werden also durch Punkte repräsentirt, welche 
mit dem Anfangspunkt durch Elementarstrecken verbunden sind. 
Von den beiden einen und denselben Werth darstellenden ge- 
kürzten Brüchen verwenden wir im Folgenden immer denjenigen 
mit positivem «. 
Um nun die »“ Farey’sche Reihe, das heisst die sämmtlichen 
nach der Grösse geordneten gekürzten Brüche, deren Zähler 
und Nenner » numerisch nicht übersteigen, zu erhalten, be- 
trachten wir das Parallelogramm mit den Ecken (0, —n), (n, —n), 
(n, n), (0, n), und lassen einen vom Nullpunkt ausgehenden 
Radiusvector sich aus der Anfangslage durch (0, — n) in die 
Endlage (0, rn) in positivem Sine um 180° drehn. So oft der im 
Parallelogramm enthaltene Theil des Radiusveetors ausser dem 
festen Anfangspunkt noch Gitterpunkte überstreicht, markiren 
wir von diesen den dem Anfangspunkt am nächsten gelegenen. 
Diese markirten Punkte bilden in der Aufeinanderfolge, in der 
sie auftreten, offenbar gerade die »“ Farey’sche Reihe. 
Aus der Entstehung folgt sofort, dass zwei aufeinander- 
folgende Punkte {p, g), (p‘, g‘) mit dem Anfangspunkt ein Ele- 
mentardreieck bestimmen; demnach ist 
oo — paea=1l. 
Ferner sind g.9g‘ sicher nicht entgegengesetzt bezeichnet, da 
offenbar der Punkt (1,0) in jeder Farey’schen Reihe die nega- 
tiven von den positiven Brüchen scheidet. 
Der Uebergang von der n‘” zur (n + 1)" Farey’schen Reihe 
geschieht durch Hinzunahme derjenigen Gitterpunkte auf der 
Begrenzung des (n + 1)" Parallelogramms, welche mit dem 
Nullpunkt durch Elementarstrecken verbunden sind. Zwei solche 
Punkte können in der Farey’schen Reihe nicht benachbart sein, 
weil sie mit dem Nullpunkt ein Dreieck bestimmen, dessen Inhalt 
