Geometrisches zur Zahlenlehre, 317 
ein Vielfaches von (n + 1) ist, also kein Elementardreieck sein 
kann. Ein solcher neuer Punkt X (r, s), der (n + 1)“ Farey’schen 
Reihe ist also zwischen zwei Punkten M (p, g), M‘ (p/, q’) ein- 
geschlossen, die schon der »“” Reihe angehören und in dieser 
natürlich Nachbarpunkte sind (Fig. 4). Hieraus folgt, dass die 
drei Dreiecke: OMM’, OMN, ONM' Elementardreiecke sind, also 
jedenfalls gleichen Inhalt besitzen. Also ist MN parallel zu OM', 
und NM‘ parallel zu OM, d.h. 
ED D, se.g-1 08. 
Ist 
pf — pgqZ | 
so sind = und 7 in der ersten Farey’schen Reihe, in der 
beide vorkommen, benachbart. Denn erstens bestimmen die 
beiden repräsentirenden Punkte mit dem Nullpunkt ein Ele- 
Fig. 4. 
mentardreieck, ihre Verbindungslinien mit dem Nullpunkt sind 
also Elementarstrecken. Zweitens ist die erste Farey’sche Reihe, 
welche beide Punkte enthält, dadurch charakterisirt, dass der 
Umfang des entsprechenden Parallelogramms durch den einen 
M, hindurchlauft, während der andere Ms; im Innern liegt. Wäre 
pun nicht Ms, sondern etwa M;»‘ der M, benachbarte Punkt der 
Farey’schen Reihe, so müsste die Gerade M, M,‘ parallel zu OM, 
sein. Wegen der congruenten Gitterpunktvertheilungen auf pa- 
rallelen Gitterstrahlen (8. $. 1), und weil OM, eine Elementar- 
strecke ist, müsste also Ms» Ms‘ ein Vielfaches von ON, sein, 
was offenbar in Anbetracht des Gebiets, innerhalb dessen sowohl 
M;, als M;’ liegen, nur durch Zusammenfallen dieser Punkte 
möglich ist. 
