318 Georg Pick: 
Hiemit sind die Grundlagen der Theorie der Näherungs- 
brüche geometrisch entwickelt. Ein weiterer Verfolg dieser 
Ueberlegungen führt rasch und ungezwungen zu jener schönen 
Versinnlichung der Kettenbrüche, welche H. Klein unter Voran- 
stellung der gewöhnlichen arithmetischen Theorie derselben an- 
gegeben hat.!) 
8. 4. Ergänzungen zu 8. 1. 
Die im $. 1 entwickelte Flächenformel ist einer Verallge- 
meinerung fähig, die hier dargelegt werden möge; zugleich 
ergibt sich von selbst eine Verschärfung des Beweisverfahrens. 
Wir betrachten eine aus einem oder mehreren getrennten 
Flächenstücken bestehende Figur mit durchaus geradliniger Be- 
grenzung, deren Ecken sämmtlich Gitterpunkte sein sollen. Es 
bezeichne J die Anzahl der im Innern der Figur liegenden 
Gitterpunkte, U jene der auf der Berandung gelegenen. Da es 
vorkommen kann, dass Begrenzungstheile verschiedenen Partien 
der Figur gemeinsam sind, so ist eine Festsetzung hinsichtlich 
der Zählung von U erforderlich, welche am zweckmässigsten . 
so formulirt wird: Man umgebe jeden auf der Begrenzung der 
Figur gelegenen Gitterpunkt mit einem genügend kleinen einfach 
zusammenhängenden (etwa kreisförmigen) Flächenstück, und 
zählte ab wie viele Flächentheile der Figur innerhalb dieses 
Stückes liegen. Gerade so oft ist der betreffende Punkt zu 
zählen. 
Es sei noch Q die Anzahl der Querschnitte, welche er- 
forderlich ist, um alle Bestandtheile der Figur einfach zu- 
sammenhängend zu machen, N die Zahl der getrennten Bestand- 
theile selbst. 
Ein Querschnitt, der irgendwie gelegt wird, ändert, falls 
er keine Zerstückelung eines Bestandtheils herbeiführt, Q@ um 
(— 1), lässt aber, falls er zerstückelt, Q ungeändert. Somit ist 
9—N 
eine Zahl, die durch Construction eines Querschnitts jedesmal 
um eine Einheit abnimmt. Es mögen nun insbesondere nur solche 
1) Autographirte Vorlesungshefte, III. Math. Ann. Bd. 48. 
