Nr. 10. 



Naturwissenschaftliche Wochensclirift. 



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vi'rwrrl'rii, weil (li'iiki'iulc Wissen sich I\Iclii(liiiiriisi(iii;ilcs niclit vor- 

 stellen können. Diese Herren niüsson konsequenterweise luicli 

 das Uiiendlichfenie und das Imag-iniire aus ilirer (Jeonietrii^ ver- 

 bannen, dürfen sich dann aber nidit wnndern, wenn die Wissenscliaft 

 in dem nnauflialtsanien Gange ihrer Eiitwickhinf;' über sie zur 

 'J'as'esiirdnunijf übergeht. - - Wer nun (um zur Sai'he /.urückznkommen), 

 wie Herr Dreher, grundsätzlich alle 'riiatsachen iler (leiunetrie in 

 den dreidinu'Usionalen Kaum versetzen will, dem lileibt. wenn er 

 von eiiU'Ui vierdimensionalen Kaum hört, natürlich nichts anderes 

 übrig, als anzunehmen, dass man diesem seinem dreidimensioiuilen 

 Kaum eine vierte Dimension andichten will, ein Irrtum, den ich 

 (auf S. 42 in meinem obenerwähnten Aufsatze) meines l''.rachtens 

 doch klar genug widerlegt habe. 



Dass Kant schon in seiner Jugendzeit ilie mathenuitisch 

 richtige Conception hatte, den dreidimensionalen Kaum als eini^ nur 

 dem kScheine nach existierende Trojektion eines vierdimensionalen 

 aufzufassen, macht dem grossen Denker alle Ehre; dass er bei seiner 

 späteren Auflassung des Weltraumes nicht auf den Unsinn verfiel, 

 den seiiu' Nachfolger den Mathematikern in die Schuhe schieben 

 wollen, nämlich von einer den drei vorhandenen Dimensionen äi|ui- 

 valenten vierten Dimension des Weltraumes zu sprechen oder im 

 ebenen dreidimensionalen l^aume die Eigenschaft der (ieraden als 

 kürzester Verbindungsstrecke zweier Punkte zu bestreiten, ist ja 

 selbstverständlich. Auch die von Herrn Dreher citiorten bedeuten- 

 den Mathematiker haben ihren vierdimensionalen Kaum schwerlich 

 je mit dem Welträume identificiert. 



Herr Dreher meint endlich, ich hätte überselien, dass, „rein 

 mathematisch genommen, der vierdimensionale Kaum der Mathe- 

 matiker dasselbe Gespenst sei mit dem der Spiritisten." Ich meine, 

 ii'h hätte mich in dieser Hinsicht deutlich genug ausgedrückt auf 

 S. 07. AI. 2, wo ich von der Kesitzergreifung dieses Begriffes durch 

 den Spiritismus rede. Wem dies noch jiicht deutlich genug ist, 

 den verweise ich auf meine Abhandlung ,. l'eber Entwickehing und 

 Stand der n-dimensionalen Geometrie" (Leopoldina. Leipzig bei 

 Kngelmaiin). — Es ist auch nicht zutreffend, wenn Herr Dreher als 

 einzigen Unterschied zwischen dem vierdimensionalen Räume der 

 Matheiiuitiker und demjenigen der Spiritisten den Umstand gelten 

 lassen will, dass die Spiritisten draussen auf dem Forum das Volk 

 verführen, während die Slathematiker (natürlich die „vierdimen- 

 sionalen") im Innern des Heiligtums der Wissenschaft ihr tempel- 

 .schänderisches Wesen treiben. Diese Unterscheidung würde, wenn 

 die Spiritisten sich damit begnügten, den unschuldigen abstrakten 

 Kaimiljegritf populär zu machen, eine ganz nebensächliche sein. 

 Der Kern di's liiterschiedes liegt vielmehr darin, dass die Spiritisten 

 den vierdimensionalen Kaum eben nicht rein mathematisch, 

 d. h. alistrakt nehmen, sondern ihn für einen neben dem Welträume 

 gedachten zweiten Rrfahrungsrauni ausgeben, und tds solchen 

 durch Täuschungen zu erweisen suchen. Man braucht natürlich, 

 um die Haltlosigkeit dieser Bemühungen zu begreifen, kein Kantianer 

 zu sein. Letzterer freilich wird obendrein noch vor die Zumutung 

 gestellt, an eine neue Ansidiauiingsform der Seeh; zu glauben , da, 

 wo eben die Unmöglichkeit der Ansclumung Voraussetzung ist. 

 l'nd, wie gesagt, wer nur Anschauliidies in der Geometrie gidten 

 lassen will, für den ;ist natürlich der vierdinu'usiomile Kaum der 

 Mathematiker ebenso widersinnig wie jener der Spiritisten. — 

 At)er abusus uon tollit usum , Gewaltniassregeln können wohl die 

 J'oltergeisfcr, nicht aber aus sicheren Positionen existeir/berechtigte 

 und nützliche Begriffe der Wissenschaft vertreilien, und im übrigen 

 kennt die J\Iatlienmtik keine Gespensterfuroht. 



(iewiss ist es richtig, dass eine allseitige philosophischi> l'.ilduiig 

 den Mathiuuatiker (wie jeden Forscher) vor Träumereien und Phan- 

 tasien zu schützen lierufen ist; eine l'hilosophie aber, welche die 

 logische Weiterentwicklung einer Spe(tialwissenschaft duri'h ein 

 Dognui aufhalten will, kann nicht mehr den Ans]u-uch erbeben, 

 diese allseitige Bildung zu gewähren, und sieht sich zu der Kolle 

 der Henne am l'fer verurteilt, wehdie im vorliegeiulen Falle nicht 

 hindern kann, dass das Entlein der Geonu^trie auf Entdeckungen 

 in den Gewässern der nicbt.anscbaulichen Gebiete ausgeht.*) 

 Dr. V. Schlegel. 



*) Der Unterzeichnete schliesst sich in der in Kede stehenden 

 Frage den obigen Ausführungen an. II. I'. 



Die Herausgabe mathematischer Klassiker.*) — Wie 



der einzelne b'or>cher nach speciellen Untersuchungen gezwungen 

 ist, sich wieder zu einem allgemeineren Gesichtspunkte zu erlielnii, 



*) Es liegt die Absii-bt vor, in längeren oder kürzi'ren Zwischen- 

 räumen auidi nuiUiematische Mitteilungen, l.espreclHingen nuithe- 

 nuitischer Werke, sowie grössere oder kleinere Berichte über neue 

 llntersuchungen aus diesem Gebiete zu bringen, deren Abfassung 

 unser bewährter Mitarbeiter, Herr A. Gutzmer, übernommen hat. 

 Wir hoffen, damit die grösste mögliche Vielseifigki'it erreicht zu 

 haben und den Wünschen vieler Leser zu entsprechen. Keil. 



wenn anders er nicht die l'ebeisiiht über sein (iebiet verlieren will 

 so ist es aucdi für jiule Wissenschatt ein unalnveisbares Bedürfnis, 

 nach grossi'U Errungensiduiften einen lilick auf die durchlaufeiu'n 

 Ftapp(Mi zu werfen. Es wird dadurch nicht nur der Sinn für die 

 historische Seite der Wissi'nschaft gepflegt, sonilern es drängen sich 

 bei dieser Bescdiiiftigung auch neue Probleme auf, deren Erledigung 

 einen wahren l'"ortsehritt bedeutet, fianz besonders findet das (ie- 

 sagte auf die matheniatischen Wissenscluiften seine Anwendung. 

 Während der letzten .lahrzehnte sind hier l'robhune zum Abschluss 

 geführt worden, mit deren Lösung sich teilweise die ausgezeich- 

 netsten Köi)l'e l)ereits vor langer Zeit beschäftigt haben. Neben den 

 epochi'machenden rntersucluingen in der Funkfionenthcorie haben 

 die Algebra und dii' höhere Arithmetik (Zahlentheoriej unter den 

 I landen genialer Forscher einen ungeahnten Aufschwung erfahren, 

 während tiefsinnige FürschunL''en sowohl über die (frundlagen der 

 Raumanschauung und die Axiome der Geometrie, als auch über die 

 verschiedenen Arten von Grössen, mit denen wir operieren, nicht 

 minder klares Liclit verbreifet haben, wie über diese (Operationen 

 selbst. Für die Mathematik scheint daher jener Zeitpunkt ein- 

 getreten zu sein, in w(dcliem sich, wenigstens für die Analysis und 

 Algebra, das Bedürfnis nach ('iner Umschau geltend macht. 



Die Werke jener geringen Zahl von Klassikern aber, web'he 

 hierbei in Betracht kommen, sind teilweise sehr wenig zugänglich 

 oder nur in teuren Ausgaben vorhanden. Sie l)ilden jedoch einen 

 unerschöpfliidien Born für neue Anregungen, und ihr Studium ge- 

 währt eine so vorzügliche Schulung des Gei.stes, dass es jedem 

 Schüler dieser Wissenschaft zur Pflicht gemacht werden muss, sich 

 mit denselben zu lieschäffigen und in dieselben zu vertiefen. Es 

 ist daher geradezu eine Notwendigkeit, dass diese mathematischen 

 Kh;ssiker zugänglich genuicht werden. Aus diesem Bedürfnis heraus 

 sind nun seit einigen .fahren etliche Werke in deutscher Sprache 

 und zu einem verhältnismässig geringen I'reise herausgegeben worden, 

 deren klassischer Wert über allen Zweifel erliaben ist. 



Es .sind darunter in erster Linie zu nennen: Euler's Ein- 

 leitung in die Analysis des Unendlichen (1. Teil) und 

 Cauchy's algebraische Analysis (Verlag von Julius Springer, 

 Berlin, 1885). Beide Werke waren bestimmt, eine (ürundlagi- für 

 den systematischen Anfliaii der Analysis zu bilden, gehen aber von 

 verschiedenen begrifflichen Grundannahmen aus; beide Werke sind 

 Repräsentanten verscdiiedener Richtungen. Während bekannflicli 

 Euler eine Funktion einer veränderlichen Zahlgn'össe definiert als 

 einen „analytischen Ausdruck, der auf irgend eine Weise aus der 

 veränderlichen Zahlgrösse und aus eigentlichen Zahlen oder aus 

 konstanten Zahlgrössen zusammengesetzt ist," w-ird bei Cauchy 

 der Begriff der Stetigkeit für den der Funktion herangezogen, eine 

 Verschiedenheit der Anschauungen, über welche die neuere Funktionen- 

 lehre klares Licht verbreitet hat. 



In diesem Kalnnen müssen wir ferner auf die in demselben 

 Verliige (1888) erschienenen (i aus s'schen Untersuchungen über 

 die hj'pergeometrische Keilie aufmerksam machen, von denen 

 der grosse Mathematiker Kummer einst (1809) .sagte: „sie sind 

 Äleisterwerke, welche denjenigen Ghar.akter der Klassicität an sich 

 tragen, welcher dafür bürgt, dass sie für alle Zeiten, nicht bloss als 

 ^Monumente der geschichtlichen Entwicklung der Wissensidiaft 

 erhalten, sondern auch von den künftigen Generationen der Mathe- 

 matiker aller Nationen, als Grundlage jedes tiefer eingehenden 

 Studiums und als reiche b'nndgrube fruchtbarer Ideen werden be- 

 nutzt und Tuit Fleiss .studiert werden." Diese Worte kennzeichnen 

 die G auss'scdie Aiihandlung vortrefflich, und man mu.ss sagen, da.ss 

 sie bereits in Erfüllung gegangen sind; jeder Mathematiker weiss, 

 wie viele neue Untersuchungen durch das Studium jener Abhand- 

 lung veranlasst worden sind. 



Als ein glücklicher Gedanke muss ferner die Herausgabe 

 einiger mathematisciien Allhandlungen Vandernionde's be- 

 zeicdinet werden , da dieselben einerseits mir schwer zugiiiiglich 

 waren, and(a'er.si'its aber in ihnen der Keim zu neuen Entwicklungen 

 lii^gt , deren Prinzip erst in den letzten .lahrzehnten zur vollen Be- 

 deutung gelangt ist. Die in deutscher Spraidie heranstregelienen 

 Allhandlungen Vandernionde's sind: Abhandlung über die Auf- 

 lösung der (ileichiMigeii; Abhandlung über die irrationalen Grössen 

 verschiedener ( Irdniing nebst einer Anwendung auf den Kreis; 

 P.ericht über vorsteliendi> Abhandlung und Abhandlung über die 

 Elimination. 



Im Anscdilnss an diese für die Algebra so äusserst wichtigen 

 Abbandlungen mag hier noch der im Teubner'schen Verlage er- 

 schienenen Zahlenf heorie von Legendre gedacht werden. In 

 diesem grossen, zwei starke Hände umfassenden Werke, de.-i.sen 

 deutsche Ausgabe nach der driften Autlage des ( )riginals veran.sfalfef 

 worden ist. werden mit den einfachsten Hilfsmitteln alle bis auf 

 Legendre und von ihm selbst entdeckten b^.igenscbaften der Zahlen 

 behandelt. Die Lehre von den Keffenbrüchen. die numerische Auf- 

 lösung der (ileichungen und ganz besonders die Theorie der Kreis- 

 feiluiii;sgleicliunL.'en, welche im Anschluss an die „Disquisitiones 

 iirithmeticae" von Gauss vorgetragen werden, finden gleichfalls 



