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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 5. 



goräischen Lehrsatz mit einer Masse Goldes, das Ver- 

 hältnis des goldenen Schnittes aber mit einem Edelstein. 

 Es liegt nahe, dieses Verhältnis, also das Verhältnis des 

 kleineren Abschnitts zum grösseren, oder was ja eben 

 ihm gleich sein soll, das Verhältnis des grösseren Ab- 

 schnitts zur ganzen Strecke numerisch auszurechnen. 

 Man findet dafür 1 /-z (V5 — 1) oder in Decimalstellen 

 0,618 . . Dieses Verhältnis, das wir im Folgenden „das 

 goldene" nennen wollen, ist irrational, d. h., es giebt 

 keine zwei ganzen Zahlen, und wären dieselben noch so 

 gross, die dieses Verhältnis genau ausdrücken könnten. 

 Man kann aber in behebiger Menge Paare von ganzen 

 Zahlen finden, die das goldene Verhältnis näherungs- 

 weise ausdrücken. Alle solche Zahlen-Paare erhält man 

 durch je zwei benachbarte Zahlen einer eigentümlichen 

 Reihe, welche entsteht, wenn man, von den Zahlen 1 und 2 

 ausgehend, jede folgende durch Addition ihrer beiden 

 Vorgänger bestimmt. Diese Reihe — Lame'sche Reihe 

 genannt — , lautet also: 

 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, . . . 



Die hieraus entstehenden Brüche Ya> 2 /a, 3 /s, h /s, . . . 

 sind immer abwechselnd kleiner und grösser, als das 

 goldene Verhältnis, kommen demselben aber immer näher, 

 ohne ihm je genau gleich werden zu können. Die 

 Lame'sche Reihe hat überdies die Eigenschaft, dass das 

 Quadrat jedes ihrer Glieder sich nur um 1 von dem 

 Produkte ihrer beider Nachbarglieder unterscheidet, und 

 zwar abwechselnd um 1 zu gross oder zu klein ist, wie 

 man findet, wenn man zweimal zwei mit einmal drei, drei- 

 mal drei mit zweimal fünf u. s. w. vergleicht. 



Die im Vorangehenden geschilderten, geometrischen 

 und arithmetischen Eigenschaften des goldenen Schnittes 

 und des goldenen Verhältnisses sind natürlich nicht durch 

 Beobachtung gewonnen, sondern mathematisch beweisbar, 

 d. h. aus den Grundeigenschaften des Raumes und den 

 Grundlagen unseres Denkens direkt abzuleiten. Den 

 Untersuchungen, die sich mit derartigen Eigenschaften 

 beschäftigen, stehen jedoch Untersuchungen krass gegen- 

 über, die in unserm Jahrhundert von phantastisch an- 

 gelegten Gelehrten angestellt sind, und die kein geringeres 

 Ziel haben, als den Nachweis, dass das goldene Ver- 

 hältnis alle Natur- und Kunstkörper beherrsche und 

 deshalb gewissermassen ein morphologisches Grundgesetz 

 der Natur und der Kunst sei. Hauptsächlich hat in 

 dieser Richtung der Münchener Gymnasial - Professor 

 Adolf Zeising um die Mitte unseres Jahrhunderts ge- 

 arbeitet. Von hervorragenden Naturforschern haben dann 

 namentlich der Botaniker Alexander Braun und der 

 Mineraloge Naumann Messungen angestellt und Arbeiten 

 geliefert, welche gleichfalls das überwiegende Vorkommen 

 des goldenen Verhältnisses an Naturkörpern beweisen 

 sollten. Neuerdings ist endlich in Augsburg ein von 

 Professor Pfeiffer in Dillingen verfasstes und „Der gol- 

 dene Schnitt in Mathematik, Natur und Kunst" betiteltes 

 Werk erschienen, welches, unter Hinzufügung der eigenen 

 Untersuchungen des Verfassers, alle früheren, auf das 



Vorkommen des goldenen Verhältnisses gerichteten Unter- 

 suchungen in ausführlichster Weise bespricht. Zunächst 

 soll der goldene Schnitt das Planeten-System beherrschen. 

 Nun haben aber die Entfernungen der acht grossen 

 Planeten von der Sonne nicht das ersehnte Verhältnis. 

 Die Enthusiasten des goldenen Schnittes aber wissen sich 

 zu helfen. Sie addieren die Entfernungen des ersten 

 und dritten, des zweiten und vierten, des fünften und 

 siebenten, des sechsten und achten Planeten von der 

 Sonne, und geben ihrer Freude darüber Ausdruck, dass 

 die erste und zweite dieser vier Summen, sowie auch die 

 dritte und vierte das goldene Verhältnis näherungsweise 

 zeigen. In einer ähnlich willkürlichen Weise werden 

 auch von den auf die Monde der Planeten sowie ihre 

 Umlaufszeiten bezüglichen Zahlen solche heiausgesucht, 

 die in die Zwangsjacke des goldenen Verhältnisses einiger- 

 massen passen. Dass wirklich zwei kleine Planeten, 

 Medusa und Hermione, in ihren Entfernungen von der 

 Sonne dem goldenen Schnitt annähernd entsprechen, darf 

 nicht Wunder nehmen, wenn man beachtet, dass man, 

 wenn man nur 180 solche Planeten rechnet, 16110 Ent- 

 fernungs-Verhältnisse bilden kann. Um auch die Herr- 

 schaft des goldenen Schnittes in der Geographie zu zeigen, 

 hat Zeising den vom Lande bedeckten Teil mit dem 

 vom Meere bedeckten Teile der Erdoberfläche verglichen. 

 Da beide Teile aber im jetzigen Jahrtausend sich etwa 

 wie 100 zu 263 verhalten, und diese Zahlen unmöglich 

 mit dem goldenen Schnitt in Einklang zu bringen waren, 

 so zog Zeising aus beiden Zahlen die Quadratwurzel, 

 und der gewünschte Einklang war erreicht. Nur hatte 

 Zeising dabei vergessen, dass. wenn die Vornahme be- 

 liebiger arithmetischer Operationen zulässig ist, jedes 

 Verhältnis in jedes andere verwandelt werden kann. Dies 

 gelingt sogar schon durch blosse Addition. So kann man 

 z. B. aus 1000 zu 2000 dadurch, dass man zu beiden 

 Zahlen 61S addiert, das goldene Verhältnis herausbringen. 

 Auf etwas festeren Füssen stehen die Untersuchungen, 

 welche den goldenen Schnitt im Pflanzenreiche nachzu- 

 weisen streben, wenigstens, soweit sie die Blattstellung 

 betreffen. Geht man am Stengel einer Pflanze von der 

 Ansatzstelle eines Blattes nach oben bis zur Ansatzstelle 

 des nächst höheren Blattes, von diesem Blatte ebenso 

 weiter zum zweiten Blatte, u. s. w., so trifft mau schliess- 

 lich auf ein Blatt, dessen Ansatzstelle sich gerade ober- 

 halb derjenigen des Anfangs-Blattes befindet, ist dieses 

 das b-te Blatt, und hat man, um auf dasselbe zu kommen, 

 den Umfang des Steiles a-mal umkreisen müssen, so ist 

 a : b immer derselbe Bruch, welches Blatt man auch als 

 Anfangsblatt nehmen mag, oder, was auf dasselbe hinaus- 

 kommt, projiziert man die Ansatzstellen zweier aufein- 

 anderfolgender Blätter auf einen kreisförmig gedachten 

 Querschnitt des Stengels, so erhält man zwei Punkte, 

 deren Bogen-Entfernung immer dieselbe Grösse hat, näm- 

 lich a : b mal 360 °. Den Bruch a : b nennt man den 

 Blattstellungsbruch der betreffenden Pflanze. Als Blatt- 

 stellungsbrüche treten nun vorherrschend diejenigen Brüche 



