42 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 6. 



der Regel jeder, der über diesen Gegenstand Belehrung 

 sucht, nicht nur den in der Natur der Sache liegenden 

 Schwierigkeiten, sich darüber klar zu werden, gegenüber- 

 steht, sondern auch einer teils durch weitverbreitete, 

 unabsichtliche Missverständnisse, teils durch bewusste 

 Täuschungen herbeigeführten argen Verwirrung der Vor- 

 stellungen und Begriffe. 



Schon die doppelte Ausdrucksweise: „vierte Dimen- 

 sion des Raumes" und „vierdimensionaler Raum" ist ein 

 Zeichen dieser Verwirrung. Wenn man von einer vierten 

 Dimension des Raumes spricht, so stellt man sich vor, 

 dass' unserem Welträume neben den drei Ausdehnungen 

 der Länge, Breite und Höhe, noch eine mysteriöse vierte 

 Dimension von gleichartiger Natur mit den anderen zu- 

 geschrieben werde. Dies ist aber ein Unding, und die 

 ganze Ausdrucksweise „vierte Dimension des Raumes" 

 beruht auf einem Miss Verständnis und ist zu verwerfen. 

 Spricht man dagegen von einem vierdimensionalen Räume, 

 so hat zu diesem Begriffe die folgende Ueberlegung ge- 

 führt: In der Geometrie wird uns gezeigt, dass der 

 Punkt keine Ausdehnung hat, die gerade Linie eine 

 einzige, die wir Länge nennen, die ebene Fläche deren 

 zwei, nämlich Länge und Breite, der Raum dagegen, 

 wie jeder Körper, der ja nur einen Teil desselben vor- 

 stellt, deren drei, wie schon oben bemerkt. Da nun die 

 Gerade, die Ebene und der Raum in gleicher Weise 

 Gebiete sind, in denen wir allerlei geometrische Gebilde 

 konstruieren und deren Eigenschaften untersuchen können, 

 so können wir auch den Begriff des Raumes erweitern, 

 indem wir die Gerade einen eindimensionalen Raum 

 nennen und die Ebene einen zweidimensionalen, während 

 unser Weltraum ein dreidimensionaler Raum bleibt. Und 

 wir können uns, zwar nicht in anschauliche)', aber doch 

 in abstrakt denkender Weise zu dem Begriffe eines vier- 

 dimensionalen Raumes erheben, in welchem unser Welt- 

 raum (Erfahrungsraum) neben beliebig vielen anderen 

 seinesgleichen ebenso Platz hätte, wie beliebig viele 

 Ebenen in unserem Welträume, oder beüebig viele Ge- 

 raden in einer Ebene. Dieser „vierdimensionale Raum" 

 ist also ein reines Produkt mathematischer Spekulation, 

 dient nur mathematischen Zwecken, und um die Frage 

 nach seiner etwaigen wirklichen Existenz kümmert sich 

 kein Mathematiker. 



Dies musste zur Klarstellung des Begriffes vorange- 

 schickt werden. Man wird nun fragen: Wenn die Ge- 

 ometrie sich 2000 Jahre lang mit den Räumen zufrieden 

 gab, die nur mit einer, zwei oder drei Dimensionen be- 

 dacht sind, und wenn doch von diesen allein praktische 

 Anwendungen auf die Gebilde der realen Welt zu machen 

 sind, wie kam man in dem nach praktischen Anwendungen 

 alles Wissens gierigsten aller Jahrhunderte dazu, die 

 Geometrie auf ein so nebelhaftes Gebiet auszudehnen, 

 und hiermit einen Schritt ins Abstrakte zu thun, wie er 

 in gleicher Kühnheit in der Wissenschaft selten dage- 

 wesen? — Die Erklärung ist leicht, wenn man bedenkt, 

 dass zwar die angewandten Wissenschaften in ihrer Ent- 



wickelung durch die Forderungen der Zeit beeinflusst, 

 liier gehemmt, da gefördert werden, dass aber eine reine 

 Geisteswissenschaft, wie die Mathematik, in ihrer Aus- 

 bildung unentwegt vorwärts schreitet, da die treibenden 

 Kräfte nur in ihr selbst wirken. Wie diese Kräfte nun 

 gerade in unserem Jahrhundert zur Entstehung einer 

 Geometrie des vierdimensionalen Raumes drängten, sei 

 der nächste Gegenstand unserer Betrachtung. 



Schon lange war es den Mathematikern aufgefallen, 

 dass für einen der elementarsten geometrischen Sätze, 

 betreffend die Winkel, welche eine Gerade mit zwei 

 Parallelen bildet, ein strenger Beweis nicht erbracht 

 werden konnte, so dass derselbe als eine unbewiesene 

 Thatsache unter dem Namen „Parallelenaxiom" (11. Axiom 

 des Euklid) in den Lehrbüchern seine Stelle fand. Dieser 

 Umstand führte schliesslich mehrere Geometer auf den 

 Gedanken, die Grundzüge einer Geometrie zu entwickeln, 

 in welcher dieses Axiom nicht galt, also auch nicht be- 

 wiesen zu werden brauchte. Natürlich wurden in dieser 

 „nichteuklidischen" Geometrie alle diejenigen Resultate, 

 die sonst aus jenem Axiome folgten, durch neue, unseren 

 gewohnten geometrischen Anschauungen und Begriffen 

 widersprechende ersetzt. Namentlich zeigte sich, dass in 

 der nichteuklidischen Geometrie die Winkelsumme eines 

 Dreiecks kleiner als 180° war. Später fand man, dass 

 noch eine dritte Geometrie erdacht werden konnte, in 

 welcher jene Summe grösser als 180° gefunden wurde. 

 Theoretisch erschienen alle drei Arten der Geometrie als 

 gleichberechtigt, aber es mussten die beiden neu gefun- 

 denen Arten so lange als widersinnig betrachtet werden, 

 als man nicht ein Gebiet angeben konnte, in welchem 

 sie wirklich galten. Nun stellte sich aber heraus, dass 

 die letztgenannte Geometrie keine andere war als die der 

 (konstant positiv gekrümmten) Kugelfläche, vorausgesetzt, 

 dass man die grössten Kugelkreise als gerade Linien der 

 Kugelfläche auffasste; und auch für die nichteuklidische 

 Geometrie wurde eine (konstant negativ gekrümmte) 

 Fläche gefunden, auf welcher sie unter entsprechenden 

 Voraussetzungen Geltung fand.*) Diese Flächen erhielten 

 nun durch die besonderen Geometrieen, die man für sie 

 gefunden, gewissermassen gleichen Rang mit der Ebene 

 (Fläche mit der Krümmung Null) ; und wenn man nun alle 

 drei Flächen als zweidimensionale Räume bezeichnete, 

 die sich nur durch die Beschaffenheit ihrer Krümmung 

 unterschieden, so konnte es nicht ausbleiben, dass man 

 diese neuen Vorstellungen auch auf den dreidimensionalen 

 Raum zu übertragen suchte, und neben den bisher allein 

 betrachteten Weltraum, der jetzt als einziges uns be- 

 kanntes und zugängliches Exemplar der Gattung „drei- 

 dimensionaler Raum mit der Krümmung Null" erschien, 



*) Beispiele für die oben erwähnten Dreiecke liefern: 1. im 

 Falle der ziiletztgenannten Geometrie ein Dreieck auf der Erdkugel, 

 begrenzt von einem Aequatorbogen und zwei aus seinen Endpunkten 

 nach einem Pol gebenden Meridianbogen; 2. im Falle der nicht- 

 euklidischen Geometrie ein ebenes Dreieck, gebildet aus drei Kreis- 

 bogen, -welche einem in der Dreiecksfläcbe gelegenen Punkte sämt- 

 lich ihre convex gekrümmte Seite zuwenden. 



