Nr. 6. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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noch zwei Arten von Räumen setzte, einen positiv und 

 einen negativ gekrümmten. Selbstverständlich verzichtete 

 man hier von vornherein auf jeden Versuch, einen der- 

 artigen Raum wirklich aufzufinden; auch war man in 

 der Erkenntnis der Bedeutung der abstrakten Geometrie 

 schon weit genug vorgeschritten, um diese Räume nicht 

 deshalb als widersinnige Denkprodukte zu verwerfen, 

 weil unsere Erfahrung über die Existenz eines einzigen 

 krümmungslosen Raumes uns verbot, diese Räume als 

 wirklich existierend anzusehen. Dieselben waren eben 

 Produkte mathematischer Ueberlegung, wie tausend an- 

 dere geometrische Gebilde, nur dass sie der Anschau- 

 lichkeit entbehrten. 



Nun lehrte aber die Geometrie, dass alle ebenen 

 und gekrümmten zweidimensionalen Flächen in unserem 

 dreidimensionalen krümmungslosen Welträume existierten, 

 oder konstruiert, oder wenigstens gedacht werden konnten, 

 und es lag daher wieder nahe, für die drei Arten des 

 dreidimensionalen Raumes ein gemeinsames krümmungs- 

 loses vierdimensionales Gebiet anzunehmen, in welchem 

 sie alle Platz finden konnten, und zwar nicht in je 

 einem, sondern in beliebig vielen Exemplaren. Dieses 

 Gebiet ist der vierdimensionale Raum der Mathematik. 

 Die Methode der Analogie, welche uns hier aus dem 

 Gebiete des dreidimensionalen Raumes in das des vier- 

 dimensionalen geführt hat, gestattet sofort den Schluss. 

 dass dieser abstrakte Prozess der Raumbildung beliebig 

 weit fortgesetzt werden kann, und in der Tliat besitzen 

 wir schon zahlreiche Resultate der Geometrie, welche für 

 einen Raum von beliebig vielen Dimensionen gelten. 



Neben den Betrachtungsweisen der nichteuklidischen 

 Geometrie boten sich aber auch noch andere Wege, um 

 zu einer Ausdehnung des Raumbegriffes auf mehr als 

 drei Dimensionen zu gelangen. Namentlich hätte die 

 von alteis her bekannte und seit Descartes, wie im Ein- 

 gange erwähnt, zur Auffindung neuer Wahrheiten plan- 

 massig ausgenutzte Anwendung des Zahl- und Massbe- 

 griffes auf die Geometrie schon längst zur Ausführung 

 jener Verallgemeinerung führen können, wenn nur irgend 

 eine zwingende Veranlassung dazu sich geboten hätte. 

 Bedenkt man nämlich, dass eine einfache Zahl a die 

 Länge einer gemessenen Strecke darstellt, die zweite 

 Potenz dieser Zahl, a 2 , den Flächeninhalt des über der 

 Strecke a als Seite errichteten Quadrates, und die dritte 

 Potenz a 3 den Rauminhalt des über diesem Quadrate als 

 Grundfläche konstruierten Würfels, so entsteht naturge- 

 mäss die Frage nach der geometrischen Bedeutung der 

 folgenden Potenzen a 4 , a 3 u. s. w., und man sieht leicht, 

 dass diese Grössen die Resultate der einfachsten Inhalts- 

 bestimmungen in den Räumen mit 4, 5 und mehr Di- 

 mension sind, sobald man sich nur entsclüiesst, diesen 

 Räumen und den für sie geltenden Geometrieen das 

 Bürgerrecht in der Geometrie zu gewähren, trotzdem 

 dass die Anschauung uns hier überall im Stich lässt. — 

 Da ferner eine Gleichung als algebraische Ausdrucksform 

 für einen Punkt, eine Linie oder eine Fläche angesehen 



werden kann, je nachdem sie 1, 2 oder 3 veränderliche 

 Grössen enthält, so ergiebt sich von selbst die Frage 

 nach der geometrischen Bedeutung einer Gleichung mit 

 4 und mehr Veränderlichen. Und auch diese Bedeutung 

 wird in den Räumen mit 4 und mehr Dimensionen ge- 

 funden. Wenn nun auch, wie gesagt, diese Ueberle- 

 gungen nicht die Veranlassung zur Aufstellung des Be- 

 griffs mehrdimensionaler Räume geworden sind, so sieht 

 man doch, wie einfach diese Räume sich in den Rahmen 

 geläutiger geometrischer Vorstellungen einfügen, und wie 

 brauchbar sie sind, um die sonst nur in beschränkten 

 Grenzen mögliche gegenseitige Verwandlung algebraischer 

 und geometrischer Betrachtungen und Resultate beliebig 

 weit auszudehnen. 



Wir haben oben gesehen, dass die Geometrie ur- 

 sprünglich den Charakter einer Erfahrungswissenschaft 

 besitzt, und zwar nicht nur, weil die Ausgangspunkte 

 ihrer Betrachtungen in dem Erfahrungsraume und der in 

 demselben verteilten Körperwelt liegen, sondern auch, 

 weil sie beständig in der Lage ist, die Richtigkeit ihrer 

 Ergebnisse durch die Uebereinstimmung derselben mit 

 den Thatsachen der Wirklichkeit messend zu kontrolieren. 

 Da aber anderseits die geometrischen Gebilde neben ihrer 

 Verkörperung (wozu auch Zeichnungen und alle sonstigen 

 Hilfsmittel der Anschauung zu rechnen) auch eine ideale 

 Existenz in unserem Geiste besitzen, und sogar erst in 

 diesen gedachten und vorgestellten Gebilden ihre Eigen- 

 schaften in voller Reinheit zum Ausdruck kommen, so 

 muss es nicht nur möglich sein, die Geometrie, wie längst 

 üblich, in dem Sinne als reine Geisteswissenschaft auf- 

 zufassen und zu entwickeln, dass man, den Begriff des 

 Weltraums und die Grundaxiome abgerechnet, von der 

 Erfahrung gänzlich Abstand nimmt, sondern es muss auch 

 möglich sein, die Anzahl der Dimensionen des betrach- 

 teten Gebietes (Gerade, Ebene oder Raum) als neben- 

 sächlich anzusehen und eine Geometrie zu entwerfen, 

 deren Wahrheiten in jedem Gebiete von beliebig vielen 

 Dimensionen gelten. Zu dieser abstrakten Wissenschaft 

 würden dann unsere Geometrieen der Ebene und des 

 Raumes in dem Verhältnis stehen, dass sie specielle Fälle 

 derselben darstellen, welche in den Erscheinungen unserer 

 Körperwelt ein reales Geltungsgebiet besitzen. Diese 

 abstrakte Auffassung der geometrischen Wissenschaft ist 

 nun in der That vor mehr als 40 Jahren durch Grass- 

 mann begründet und zur Durchführung einer solchen 

 n-dimensionalen Geometrie, der „Ausdehnungslehre", ver- 

 wendet worden, wozu allerdings eine besondere analy- 

 tische Methode erforderlich war, die schliesslich von dem 

 parallelen geometrischen Gedankenprozesse sich nur durch 

 die äussere Form der Darstellung und die Terminologie 

 unterscheidet. Es ist demnach im Ganzen ersichtlich, 

 dass es sich bei diesem Unternehmen nicht nur um einen 

 vierdimensionalen Raum, sondern um ein Gebiet mit be- 

 liebig vielen Dimensionen handelt, und dass in dieser 

 abstrakten Geometrie der anscheinende Widerspruch, in 

 welchen sich der Begriff eines mehr als dreidimensionalen 



