Verlag: Riemann & Möller, Berlin SW. 48, Friedrich-Strasse 226. 



IL Band. 



Sonntag, den 13. Mai 1888. 



Nr. 7. 



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Lieber den sogenannten vierdimensionalen Raum. 



Von Dr. V. Schlegel. 

 (Fortsetzung) 



und Kanten jedesmal gleich viele Grenzkörper zusammen- 

 treffen. Solcher Gebilde giebt es sechs, und zwar sind 

 di^ < ; i vnzkörper in drei Fällen Tetraeder, in je einem 

 Falle Hexaeder, Oktaeder und Dodekaeder. Dehnt man 

 dies»- Betrachtungen auf Räume von beliebig vielen Dimen- 

 sionen aus, so findet sich, dass drei Arten regelmässiger 

 Gebilde in jedem dieser Räume vertreten sind. Die 

 erste Reihe von Gebilden beginnt in der Ebene mit 

 dem gleichseitigen Dreieck, begrenzt von drei kon- 

 gruenten Strecken ; dann folgt im dreidimensionalen Räume 

 das regelmässige Tetraeder (Vierflach), begrenzt von 

 vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken, und im vier- 

 dimensionalen Räume das sogenannte Fünfzell, begrenzt 

 von fünf kongruenten regelmässigen Tetraedern. Die 

 zweite Reihe beginnt in der Ebene mit dem Quadrat 

 (Viereck), begrenzt von vier kongruenten Strecken, 

 setzt sich im dreidimensionalen Räume fort mit dem 

 Würfel (Sechsflach), begrenzt von sechs kongruenten 

 Quadraten, und im vierdimensionalen Räume mit dem 

 Achtzell, begrenzt von acht kongruenten Würfeln. 

 Die dritte Reihe beginnt in der Ebene ebenfalls mit dem 

 Quadrate; es folgt im gewöhnlichen Räume das Oktaeder 

 (Achtflach), begrenzt von acht kongruenten Dreiecken, 

 und im vierdimensionalen Räume das Seehzehnzell, 

 begrenzt von sechzehn Tetraedern. Das Bildungsgesetz 

 dieser drei Reihen von Gebilden ist nach diesen Angaben 

 auch für die höheren Räume leicht zu erkennen. 



Aber so einfach auch für das abstrakte Denken der 

 Fortschritt in den vierdimensionalen Raum sich oft ge- 



Schwieriger wird der Fortschritt ins Mehrdimensionale 

 da, wo die rechnerische Begründung dieses Fortschrittes 

 nach der Natur der Sache ausgeschlossen oder nur künst- 

 lich zu erlangen ist. Ein Beispiel für diesen Fall bietet 

 die Frage nach der Anzahl und Beschaffenheit der so- 

 genannten regulären Gebilde, zunächst im vierdimen- 

 sionalen Räume. Man weiss, dass es in der Ebene re- 

 guläre Vielecke von jeder beliebigen Seitenzahl giebt, 

 die das gemeinsame Merkmal haben, dass ihre Flächen 

 von lauter gleichlangen Strecken begrenzt werden, von 

 denen immer je zwei in einem Eckpunkte, und zwar 

 unter lauter gleichen Winkeln zusammenstossen. Die 

 entsprechenden Gebilde des Raumes sind die regelmässigen 

 Körper, die von kongruenten regelmässigen Vielecken 

 begrenzt werden, von welchen in jeder Ecke des Körpers 

 eine gleiche Anzahl zusammenstösst, während in allen 

 Kanten je zwei Flächen unter gleichen Winkeln zu- 

 sammentreffen. Solcher Körper giebt es bekanntlich nur 

 fünf. Unter diesen werden drei von gleichseitigen Drei- 

 ecken begrenzt, von welchen in jeder Ecke drei (beim 

 Tetraeder) oder vier (beim Oktaeder) oder fünf (beim 

 Ikosaeder) zusammenstossen; einer (der Würfel oder das 

 Hexaeder) wird von Quadraten, einer (das Dodekaeder) 

 von regelmässigen Fünfecken begrenzt, wobei jedesmal 

 drei Grenzflächen um eine Ecke gelagert sind. Es ist 

 nun nachgewiesen, dass auch der vierdimensionale Raum 

 ganz analoge regelmässige Gebilde besitzt, die ihrerseits 

 wieder von regelmässigen Körpern begrenzt werden, und 

 zwar so, dass bei jedem dieser Gebilde in allen Ecken 



