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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 8. 



füttert worden ist. Der obere Schnabel ist fast ganz 

 verkümmert, so dass eine Selbsternährung- auch liier ganz 

 ausgeschlossen erscheint, wie Fig. b in natürlicher Grösse 

 veranschaulicht. 



Später im Dezember erhielt ich von meinem Bruder 

 aus Andernach eine Saatkrähe (Corvus frugilegus L.) zu- 

 geschickt, deren Kopf in natürlicher Grösse in Fig. c 

 abgebildet ist. Hier erscheint der Oberschnabel 1 * 2 cm 



über den unteren herabgebogen, der untere aber gegen 

 den oberen linksseitig kahnförmig heraufgebogen, so dass 

 zwischen beiden eine rechtsseitig 1 mm, linksseitig 2 mm 

 weite nach vorn und hinten spitz zulaufende Oeffnung 

 sich befindet. Allem Anscheine nach war auch diese 

 Krähe nicht im Stande, sich selbst zu ernähren und er- 

 hielt ihre Nahrung ebenfalls von einer anderen zugetragen. 



Ueber den sogenannten vierdimensionalen Raum. 



Von Dr. V. Schlegel. 

 (Fortsetzung) 



Gleichwohl braucht man das eben beschriebene Ver- 

 fahren nur von der überflüssigen und störenden Zuthat 

 dessen zu befreien, was die vierte Dimension ersetzen 

 soll, um ein auf dem Boden der reinen Mathematik 

 wurzelndes Anschauungsmittel zu erlangen, welches alles 

 das leistet, was man hier der Natur der Sache nach 

 überhaupt von einem solchen verlangen kann. Es ist 

 bereits hervorgehoben worden, wie eine ebene Zeichnung 

 sehr wolü als Abbildung eines gewöhnlichen Körpers 

 gelten kann, wobei zwar eine Dimension verloren geht, 

 aber durch unser Vorstellungsvermögen wieder hineinge- 

 tragen wird. Das Verfahren, durch welches eine solche 

 Zeichnung zu stände kommt, ist die Projektion, über 

 deren Begriff hier wohl nichts erörtert zu werden braucht. 

 — Nehmen wir nun die schon oben erwähnte Zeichnung 

 des Würfels wieder vor, nur mit dem Unterschiede, dass 

 der Würfel jetzt als durchsichtig gelten soll, wodurch 

 also sämtliche Ecken und Kanten in der Zeichnung zum 

 Vorschein kommen. Gesetzt, es sei jemand, der diese 

 Zeichnung betrachtet, nicht im stände, sie als Abbildung 

 eines Körpers zu erkennen, indem sein räumliches Vor- 

 stellungsvermögen ihn hierbei im Stich liesse.*) Er wird 

 gleichwohl, wenn er wenigstens weiss, was sie vorstellt, 

 aus der Zahl der Ecken, Kanten und Flächen, und der 

 Art ihrer Verteilung aneinander im stände sein, allerlei 

 Angaben über den Körper zu machen, und so von der 

 Figur Nutzen zu ziehen. Werden, wie es in der dar- 

 stellenden Geometrie geschieht, in gesetzmässiger Weise 

 zwei oder drei solcher Projektionszeichnungen hergestellt, 

 so können dieselben sogar überhaupt zur wissenschaft- 

 lichen Erforschung der Eigenschaften des dargestellten 

 Körpers benutzt werden. In ganz entsprechender Weise 

 kann nun auch von einem vierdimensionalen Gebilde, 

 namentlich wenn es von gewöhnlichen, ebenflächigen 

 Körpern begrenzt ist, eine Projektion im dreidimensionalen 

 Räume hergestellt werden. Wie bei der gewöhnlichen 

 ebenen Projektionszeichnung eines Körpers, so werden 

 auch bei der Herstellung der Projektion eines vierdimen- 

 sionalen Gebildes nur die Kanten, und zwar durch Drähte, 

 resp. Fäden zur Darstellung gebracht, so dass die Pro- 

 jektion sich als ein räumliches Liniennetz darstellt. Auf 



I *) Diea kann auch einem geübteren Beobachter leicht begegnen, 

 wenn die Zeichnung den Körper in einer ungewohnten Stellung zeigt. 



diese Weise hat z. B. der Verfasser die oben erwähnten 

 regelmässigen Körper des vierdimensionalen Raumes zur 

 Anschauung gebracht. Das einfachste dieser Projektions- 

 modelle besteht aus einem Draht-Tetraeder, in welchem 

 ein innerer Punkt durch Fäden mit den vier Ecken ver- 

 bunden ist. Wie es nun überhaupt möglich ist, von 

 Gebilden, die man sich nicht einmal vorstellen kann, 

 erstens die theoretische Existenz zu beweisen, und zweitens 

 zuverlässige Projektionen derselben herzustellen, diese 

 Frage kann in dem Räume dieses Aufsatzes nicht be- 

 antwortet werden, würde auch zu sehr in das specielle. 

 Gebiet der Mathematik hinübergreifen. Es ist im all- 

 gemeinen von diesen räumlichen Projektionsgebilden nur 

 noch zu sagen, dass genau so, wie bei den oben be- 

 schriebenen Projektionszeichnungen, eine Dimension des 

 dargestellten Gebildes verloren geht, dass aber diese 

 Dimension nicht durch unser räumliches Vorstellungs- 

 vermögen ersetzt werden kann, weil uns eben dieses 

 Vermögen hinsichtlich der vierten Dimension im Stich 

 lässt. Sie leisten also dem Beobachter dieselben Dienste 

 wie jene Zeichnungen, vorausgesetzt, dass die letzteren 

 vom Verstände als richtige Abbildungen begriffen, vom 

 Auge aber nicht als solche erkannt werden. 



Die im Vorstehenden gelegentlich mitgeteilten Proben 

 vierdimensionaler Gebilde können als Bausteine zu einer 

 Geometrie des vierdimensionalen Raumes angesehen werden. 

 Und nachdem wir in der Projektion dieser Gebilde auf 

 den dreidimensionalen Raum auch ein Hilfsmittel der 

 Anschauung gewonnen haben, wie wir es in analoger 

 Weise auch in der Stereometrie benutzen, wenn wir ebene 

 Zeichnungen der betrachteten Raumgebilde anfertigen, so 

 sehen wir, dass die wissenschaftliche Entwickelung einer 

 solchen vierdimensionalen Geometrie keineswegs ausser 

 dem Bereich der Möglichkeit liegt. Thatsächlich ist auch 

 in den letzten beiden Jahrzehnten auf diesem Gebiete 

 nach allen Richtungen, sowohl in niederer wie in höherer 

 Geometrie, so vieles geleistet worden, dass der Abschluss 

 wenigstens der elementaren Geometrie des vierdimen- 

 sionalen Raumes nicht mehr fern zu hegen scheint. 



Diese „Zukunftsgeometrie" wird allerdings mangels 

 jeder Anwendbarkeit auf Verhältnisse der Wirklichkeit 

 niemals die Wichtigkeit und Bedeutung der Geometrie 

 der Ebene und des Raumes erlangen, und auch in ihrer 



