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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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Eigenschaft als formales Bildungsmitte] unseren Schulen 

 fernbleiben, es müsste denn sein, dass in einer künftigen 

 (leneration die Entlastung von unmodernem Lehrstoff 

 eine noch ungeahnte Steigerung des Yorstellungs- und 

 Abstraktionsvermögens zur Folge hätte. 



Dahingegen ist der rein wissenschaftliche. Nutzen 

 der geometrischen Betrachtungen und Kesultate auf vier- 

 wie auf mehrdimensionalem Gebiete keineswegs gering 

 anzuschlagen. Denn nicht nur wird der Zusammenhang 

 analoger Wahrheiten in den Gebieten der geraden Linie, 

 der Ebene und des gewöhnlichen Raumes besser be- 

 griffen, wenn wir diese Gebiete als Anfangsglieder einer 

 ganzen Reihe von Gebieten kennen lernen; wir vermögen 

 auch aus Resultaten der mehrdimensionalen Geometrie durch 

 Specialisierung und andere Mittel neue Wahrheiten der ge- 

 rn wohnlichen Geometrie abzuleiten, zu denen ein andererWeg 

 nur schwer aufzufinden wäre. 1 >azu kommt, dass jede Furt- 

 entwickelung eines Zweiges der mathematischen Wissen- 

 schaft auch auf andere Zweige befruchtend und fördernd 

 einwirkt, die mit jenem, sei es als Anwendungsgebiete, sei 

 es als Hilfswissenschaften, zusammenhangen. 



Aus dem, was wir bisher über den vierdimensionalen 

 Raum gesagt haben, ist nun wohl ersichtlich, dass er das 

 Interesse des Mathematikers erregen kann; allein die 

 weite Verbreitung, welche wenigstens die Kenntnis seines 

 Namens im grösseren Publikum erlangt hat, würde sich 

 hieraus noch lange -nicht erklären. Denn naturgemäss sind 

 es nicht die Kesultate der reinen Wissenschaft, sondern 

 erst ihre Anwendungen auf Verhältnisse der Wirklich- 

 keit, welche die Aufmerksamkeit weiterer Kreise auf sich 

 ziehen. Und es ist vorhin ausdrücklich betont worden, 

 wie sehr gerade die vierdimensionale < reometrie von 

 praktischen Anwendungen entfernt ist. Wie nun trotz- 

 dem der Begriff des vierdimensionalen Raumes mit ge- 

 wissen Problemen, die uns im Welträume begegnen, 

 theoretisch zusammenhängt, diese) 1 Frage wollen wir im 

 Folgenden näher treten. 



Zunächst giebt es Probleme der ebenen Geometrie, 

 ilie sich nicht in der Ebene allein erledigen lassen, sondern 

 nur unter Zuhilfenahme des dreidimensionalen Raumes. 

 Legen wir z. B. zwei einseitig schwarz gefärbte Papier- 

 blätter so auf einander, dass die schwarzen Seiten oben 

 liegen, schneiden gleichzeitig aus beiden ein ungleich- 

 seitiges Dreieck aus, und legen dann diese beiden Drei- 

 ecke, die schwarzen Seiten wieder nach oben gewendet, 

 auf eine Ebene, so können dieselben durch einfaches 

 Verschieben in der Ebene zu vollständiger Deckung ge- 

 bracht werden. Man nennt sie in diesem Falle kon- 

 gruent. Lagen dagegen die Papierblätter etwa so auf- 

 einander, dass die schwarzen Seiten einander von innen 

 berührten, so können die beiden (in diesem Falle sym- 

 metrisch genannten) Dreiecke, wenn sie ebenso wie oben 

 auf die Ebene gebracht worden sind, nicht mehr durch 

 blosse Verschiebung zur Deckung gelangen. Man muss 

 vielmehr das eine derselben vorbei' so umklappen, dass 

 die weisse Seite oben liegt, und diese Umklappung ist 



nur dadurch möglich, dass das Dreieck aus der Ebene 

 in den Raum hinaus gebracht, dort umgewendet, und 

 endlich wieder in die Ebene zurückversetzt wird. — 

 Eine ganz analoge Aufgabe bietet der Raum selbst. 

 Ziehen wir nämlich auf den weissen Seiten zweier Papier- 

 blätter der vorigen Art von einem Punkte des Randes 

 aus zwei Linien, welche mit dem Rande auf beiden 

 Blättern gleiche Winkel bilden, falten dann beide Blätter 

 längs dieser Linien so, dass die schwarzen Flächen nach 

 aussen kommen, und befestigen die offenen Ränder jedes 

 Blattes aneinander, so entstehen zwei kongruente drei- 

 seitige Ecken, die so in einander geschoben werden 

 können, dass Scheitelpunkte, Kanten und Flüchen der 

 einen sich mit denen der andern vollständig decken. 

 Faltet man dagegen das eine der beiden Blätter längs 

 derselben Linien so, dass die weisse Fläche nach aussen 

 kommt, so sind die beiden Ecken symmetrisch, d. h. sie 

 lassen sich trotz Gleichheit aller ihrer Winkel nicht mehr 

 in einander schieben. Man schliesst nun durch Analogie 

 wie folgt: Gerade so, wie eins von zwei symmetrischen 

 Dreiecken dadurch zur Deckung mit dem andern gebracht 



: werden kann, dass man es erst aus der gemeinschaft- 

 lichen Ebene herausnimmt, in den dreidimensionalen Raum 

 bringt, dort umkehrt (d. h. Ober- und L T nterseite ver- 



| tauscht) und dann wieder in die Ebene zurücktransportiert, 

 geradeso könnten wir, wenn uns ein vierdimensionaler 

 Kaum zur Verfügung stände, und die Möglichkeit, Gegen- 

 stände in denselben hinein zu versetzen, gegeben wäre; 

 die eine von zwei symmetrischen Ecken erst aus unserem 

 Welträume in diesen vierdimensionalen Raum bringen, 

 dort umkehren (d. h. Innen- und Aussenseite vertauschen) 

 und dann in unseren Raum zurückbringen, worauf die 

 Deckung der beiden Ecken durch Ineinanderschieben 

 gelingen würde. Diese Operation würde möglich sein, 

 ohne irgendwie die Gestalt der Ecke zu ändern und 

 nachträglich wieder herzustellen. AVenn freilich dieses 

 letztere Verfahren zugestanden wird, dann kann eine 

 solche Papierecke, selbst ohne den Zusammenhang ihrer 

 Oberfläche zu zerstören, auch im gewöhnlichen Räume 

 umgekehrt werden. Sehr nahe hegt hier der Vergleich 

 der beiden symmetrischen Ecken mit einem Handsehuh- 

 paar, dessen ebenfalls symmetrisch gestaltete Glieder 

 dadurch kongruent gemacht werden können, dass man 

 durch Umkehrung die Innenseite des einen zur Aussen- 

 seite, und so z. B. aus dem linken Handschuh einen 

 zweiten rechten macht. Ein geschickter Taschenspieler 

 könnte, indem er den linken Handschuh verschwinden 

 lässt, und dann statt desselben einen zweiten rechten 

 produziert, uns glauben machen, er habe die Umkehrung 

 auf die vorher beschriebene Weise im vierdimensionalen 

 Räume vollzogen oder vollziehen lassen, wohin unser 

 Blick natürlich nicht reicht. Alles selbstverständlich unter 

 der Voraussetzung, dass wir entweder den Glauben an 

 die wirkliche Existenz des vierdimensionalen Raumes schon 

 mitbringen, oder durch dieses Experiment uns in diesen 

 Glauben versetzen lassen. Theoretisch wäre unter dieser 



