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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 8. 



Voraussetzung nichts gegen die vorgebrachte Erklärung 

 einzuwenden. 



Ein anderes Beispiel. Zeichnen wir einen Kreis 

 auf der Ebene, setzen die Spitze der Feder, die uns 

 einen Punkt bedeuten soll, in das Innere des Kreises, 

 und lassen, indem wir die Spitze der Feder auf dem 

 Papier vorwärts rücken lassen, diesen Punkt sich bewegen. 

 Wollen wir den Punkt aus dem Innern des Kreises 

 herausbringen, ohne dass er die Ebene verlassen soll, so 

 rauss er nothwendig irgendwo die Kreislinie passieren, 

 d. h. die Spitze der Feder muss die Kreislinie kreuzen. 

 Heben wir aber die Feder vorher auf und setzen ihre 

 Spitze ausserhalb der Kreisfläche auf dem Papier nieder, 

 so ist unser Punkt von innen nach aussen gekommen, 

 ohne die Kreislinie zu passieren, er hat dieselbe offenbar 

 dadurch umgangen, dass er sich aus der Ebene in den 

 Raum hinausbewegte, um nach erfolgter Umgehung in 

 die Ebene zurückzukehren. Dabei ist zu beachten, dass 

 der Uebergaug in den Raum an jeder beliebigen Stelle 

 der Kreisfläche erfolgen kann, und dass der Punkt für 

 ein Auge, welches ihn nur in der Ebene sucht, so lange 

 verschwindet, als er ausserhalb derselben im Räume ver- 

 weilt. — Denken wir uns jetzt eine vollständig geschlossene 

 hohle Glaskugel, und innerhalb derselben einen beweg- 

 lichen Punkt; derselbe mag durch ein Schrotkorn dar- 

 gestellt sein. Offenbar kann dieser Punkt aus dem von 

 der Kugelfläche eingeschlossenen Räume nur dadurch 

 nach aussen kommen, dass die Kugelfläche irgendwo 

 durchbrochen wird. Hätten wir aber einen vierdimen- 

 sionalen Raum, so würden wir dieselbe Wirkung ohne 

 Verletzung der Kugelfläche erzielen können, wenn wil- 

 den Punkt da, wo wir ihn gerade vorfänden, in den 

 vierdimensionalen Raum versetzten, ihn hier die Kugel- 

 fläche umgehen Hessen, und ihn endlich ausserhalb der- 

 selben irgendwo in den gewöhnlichen Raum zurückver- 

 setzten. Ohne Schwierigkeit ist hieraus das Recept zu 

 entnehmen, nach welchem der Taschenspieler, der uns 

 dieses Wunder vorführen will, zu verfahren hat, indem 

 er nämlich zwei äusserlich ganz gleiche Kugeln, von 

 denen die eine das Schrotkorn enthält, mit einander 

 verwechselt. 



Eine dritte, sehr bekannt gewordene und viel- 

 umstrittene Aufgabe möge als letztes Beispiel dienen. 

 Man kann in einem mit zwei offenen Enden versehenen 

 Stück Band eine einfache Sclüinge oder einen Knoten 

 anbringen, und ebenso diese Gebilde wieder auflösen. 

 Sind dagegen die beiden Enden an einander befestigt, 

 so dass das Band die Gestalt einer geschlossenen oder 

 in sich zurückkehrenden Linie hat, so ist weder das eine 

 noch das andere möglich. Auch diese, im dreidimen- 

 sionalen Räume unlösbaren Aufgaben könnten, natürlich 

 ohne die Geschlossenheit des Bandes aufzuheben, oder 

 sonst irgendwie den Kern der Aufgabe zu umgehen, im 

 vierdimensionalen Räume gelöst werden, und das in den 

 Weltraum zurückversetzte Band würde im ersten Falle 



mit der Schlinge versehen, im zweiten von derselben 

 befreit, wieder in die Erscheinung treten. Der Beweis 

 für die theoretische Richtigkeit dieser Behauptung ist 

 auf streng mathematischem Wege erbracht worden, und 

 jeder Mathematiker kann sich ohne Schwierigkeit durch 

 Verfolgung der gar nicht weitläufigen, allerdings hier 

 nicht mitteilbaren Rechnung davon überzeugen. Auch 

 sonst hält es eben nicht schwer, mancherlei im gewöhn- 

 lichen Räume unlösbare Raumprobleme anzugeben, die 

 unter Zuhilfenahme des vierdimensionalen Raumes ihre 

 Erledigung linden würden. 



Aber ebenso leicht ist auch einzusehen, dass alle 

 diese Lösungen nur in der geometrischen Phantasie be- 

 stehen können. Dort freilich sind sie gleichwertig mit 

 zahllosen anderen Konstruktionen und Lösungen von 

 Aufgaben, die man eben auch nur in Gedanken ausführt, 

 wie (um nur einige ganz einfache Beispiele anzuführen) 

 das Legen einer Ebene durch drei Punkte des Raumes, 

 die Konstruktion einer Kugelfläche mit gegebenem Radius 

 aus einem Punkte des Raumes. Ja selbst unsere Zeich- 

 nungen von Linien und Figuren auf einer Ebene ent- 

 sprechen ja keineswegs genau den reinen geometrischen 

 Konstruktionen unserer Phantasie, sondern sind nur mehr 

 oder weniger grobe Veranschaulichungsmittel für das Auge. 

 Und der einzige Unterschied zwischen den eben genannten 

 Arten von Konstruktionen und denjenigen, welche den 

 vierdimensionalen Raum zu Hilfe nehmen, besteht darin, 

 dass wir uns die letzteren eben nicht vorzustellen und 

 daher auch nicht, ihrer richtigen Beschaffenheit ent- 

 sprechend, zu veranschaulichen im Stande sind. — Indem 

 wir nun insbesondere die mathematischen Gesetze, welche 

 wir an den von uns ausgedachten und durch Zeichnungen 

 oder Modelle veranschaulichten Körperformen entdecken, 

 in der uns umgebenden Körperwelt verwirklicht und 

 bestätigt linden, so geben auch umgekehrt die noch un- 

 erklärten Erscheinungen dieser Körperwelt uns Anlass, 

 verborgenen mathematischen Gesetzen nachzuspüren, und 

 ebenso veranlassen uns Aufgaben, welche wirklich vor- 

 handene Körper aller Art betreuen, die Lösungen dieser 

 Aufgaben an den entsprechenden mathematischen, d. h. 

 gedachten Körpern auf mathematischem Wege zu suchen. 

 Soll nun eine so gefundene Lösung in die Wirklichkeit 

 umgesetzt, d. h. an wirklich vorhandenen Körpern aus- 

 geführt werden, so ist es eine unerlässliche Voraus- 

 setzung, dass dazu nur das uns allein zugängliche Gebiet 

 des Weltraums in Anspruch genommen wird. Reicht 

 dieses Gebiet zur Lösung einer solchen praktischen Auf- 

 gabe nicht aus, muss vielmehr der vierdimensionale Raum 

 dazu herangezogen werden, so ist die Aufgabe eine für 

 uns absolut unlösbare. — Werden dennoch vor unseren 

 Augen solche im Weltraum unlösbare Aufgaben, wie die 

 oben beschriebenen, gelöst, so handelt es sich eben um 

 eine Täuschung unserer Gesichtswahrnehmung, d. h. um 

 ein mehr oder weniger interessantes Taschenspieler- 

 kunststück. (Schluss folgt.) 



