Geometfîsh ffamstlähimg af analysens grundoperationer. 1 1 9 



§ 7. För att komma till begreppet om digniteter med irrationela exponenter 

 tänka vi oss, att viuklarne mellan radierna till en logaritmisk polygen (Fig. 2) 

 delas i allt flere lika stora delar och att de nya radierna détermineras såsom 

 förr. När vinklarne vid origo tänkas blifva oändligt små qvantiteter komma 

 polygonens hörn att bilda en lor/aritnu'sk spiral, hvars alla tänkta hörnpnnkter 

 äro i en rät eller krokig linic, alltefter som första elementet, d. v. s. den när- 

 mast enheten belägna elementära sidan (som må föreställas genom Aa) faller 

 i abscissaxelns rigtning eller icke. Om första elementet är vinkelrätt mot 

 abscissaxeln, så förvandlas spiralen till en i lika elcmentcr indelad cirkelbåge 

 (C/^Dj), hvars radie är lika med enheten. 



Spiralens tänkta hörnpunkter äro belägna på en linie, som är identisk 

 med den af Descaktes betraktade spiralen, hvilken han definierar genom dess 

 egenskap, att tangenten gör en konstant vinkel med radien, som dragés till 

 tangeringspunkten. Vi hafva bibehållit den allmänt brukliga benämningen lo- 

 garitmisk spiral, men önska dermed tillsvidare blott antyda, att linien utgör 

 en gräns för den förut definierade logaritmiska polygonen, hvartill densamma 

 närmar sig, då sidorna blifva oändligt små. — Hvarje logaritmisk spiral, vi 

 här komma att betrakta, tänka vi oss alltid ställd sålunda, att radien {OÄ)^ 

 som är lika med enheten, sammanfaller med abscissaxeln (OX); spiralen tankes 

 således alltid gå genom enhetens slutpunkt {Ä). — Vidare anse vi spiralen 

 alltid vara delad i elemcntcr, som motsvara lika vinklar vid origo (O), och 

 med afseende å denna delning, som för det följande är af särdeles vigt, skola 

 vi här definiera logaritmiska spiralen såsom en kontinuerlig följd af punkter 

 eller en serie af komplexa qvantiteter. 



Vi förstå nemligen med logaritmisk spiral, förande till en gifvcn komplex 

 qvantitet eller till punkten [M, Fig 2), som representerar qvantiteten, en följd 

 af punkter {Aah . . . M) hvilka fortgå från den punkt {A), som föreställer 

 enheten, till pnnkten [M), som representerar den gifna qvantiteten, enligt föl- 

 jande lag, nemligen att pimkternes radii vectores {O A, Oa, .... OM) bilda 

 en geometrisk progression till absoluta storleken oeh att de luta mot Iwarandra 

 under en konstant och oändligt liten vinkel, då två oeh två närligande jemföras 

 AOa = aOb = ....). 



Vi betrakta i det följande oftast oändligt små qvantiteter i stället för 

 gränser, emedan framställningen derigenom blir kortare och saken likväl är 

 densamma i grunden. — Spiralens oändligt små sidor (Aa, ab, . . .) kunna 

 enligt Descaetes' definition icke bestämmas direkt i den händelse, då spiralen 

 förvandlas till en rät linie ; vår definition är äfveu i detta fall direkt använd- 



