Geometrisk framsiällning af anahjsens grimdoperationer. 121 



att exponenten beror, icke blott af absoluta storleken af förhållandet mellan 

 dignitetens och rotens argumenter (§ 7), utan äfven af den rigtning, i hvilken 

 spiralbågarne utgå från enhetens slutpunkt. Allt efter som denna rigtning är 

 lika eller motsatt, kunna argumenterna anses hafva lika eller olika tecken, om 

 man nemligen antager, att argumenterna alltid skola konstrueras åt samma 

 sida från enheten, som spiralerna. Det synes tillfölje häraf vara naturligt att 

 uppfatta exponenten, både hvad storlek och tecken beträffar, såsom förliållandet 

 mellan dignitetens och rotens argumenter, och denna uppfattning är i sjelfva 

 verket alldeles tillfredställande, om exponenten är reel. Men då vi från detta 

 begrepp om digniteter med reela exponenter söka att komma till det allmän- 

 nare begreppet om digniter, hvars exponenter äro komplexa qvantiteter, och 

 vi dervid så nära som möjligt vidhålla det engång fastställda begreppet om 

 dignitetens exponent, såsom utgörande föi'hallandet mellan tvenne qvantiteter, 

 hvilka antingen direkt beteckna, eller åtminstone äro projjortionela emot ele- 

 menternas antal i dignitetens och rotens spiralbågar, så framställer sig den 

 svårigheten, att hvarken dessa antal eller de mot dem proportionela argumen- 

 terna (XOM, XON) kninia representera komplexa qvantiteter. Man föran- 

 ledes derföre att söka ersätta dessa antal eller argumenterna • genom mot dem 

 proportionela räta linier, ty räta linier kunna enligt § 2 representera hvilka 

 komplexa qvantiteter som helst. Sålunda framställer sig frågan, Jmrn man 

 lämpligast kunde representera antalet elementer i difjnitetens och rotens spiral- 

 behjar genom tvenne räta linier, hvars förhållande skidle hcstämma exponenten 

 och utgöra dess definition, antingen exponenten är reel, såsom vi hittills antagit, 

 eller imaginär? 



För att de sökta linierna skola blifva proportionela mot elementernas 

 antal i dignitetens och rotens spiralbågar, fordras naturligtvis, att hvardera 

 räta linien skall innehålla en viss gemensam enhet så många gånger, som det 

 finnes elementer i den motsvarande spiralbågen. Men emedan hvardera bågen 

 består af ett oändligt antal elementer, så skulle de sökta räta linierna utfalla 

 oändligt stora, i fall den för begge gemensamma enheten antogs vara finit. Det 

 är derföre naturligt, att det gemensamma måttet antages vara oändligt litet, 

 så att de sökta linierna derigenom blifva finita. Det är icke svårt att lämpligt 

 välja detta gemensamma mått. Emedan nemligen första elementerna af digni- 

 tetens och rotens spiraler äro lika till absoluta storleken, då begge spiral- 

 bågarne höra till samma Spirallinie [C'ÄM, Fig. 2) eller då exponenten är 

 reel, och intet hindrar att bibehålla denna bestämning af första elementernas 

 absoluta storlek äfven då exponenten antages vara imaginär, så synes det ju 

 vara enklast att antaga detta första element (Aa = Äa') såsom mått för de 



