Geometrisk framställning af analysens grundoperationer. 123 



Då vi nu öfvergå till det allmänna begreppet um digniteter och rötter, 

 böra dessa qvantiteter anses vara representerade genom tvenne punkter be- 

 lägna liuru som helst i koordinatplanet, vare sig att de befinna sig på en och 

 samma genom enhetens slutpunkt gående logaritmiska spiral, eller icke. I 

 hvarje händelse kunna begge punkterna {31 och N, Fig. 3) tänkas förenade 

 med enhetens slutpunkt (A) genom livar sin logaritmiska spiralbåge {A3I och 

 AN). Från denna punkt (enhetens slutpunkt) kan man konstruera till hvar- 

 dera spiralen en tangent {AK, AL), som, på sätt nyss blifvit framstäldt, repre- 

 senterar elementernas antal i spiralen. Förhållandet (§ 2) mellan dessa tan- 

 ficnfer (AK, AL) befrakta vi såsom den allmänna definitionen af dignitetens 

 {OM) ejponent eller rotens {ON) index. Ty ehuru denna definition väl egent- 

 ligen är härledd från det speciela fall, då exponenten antogs vara reel, så 

 finnes intet skäl att förändra definitionen, sedan densamma nu visat sig vara 

 användbar i allmänhet. 



§ 9. Innan vi sammanfatta dessa begrepp i en kort definition, må några 

 anmärkningar tillåtas angående de nyss betraktade tangenterna, hvilka linier 

 för det följande äro af särdeles vigt. — Ehuru dessa tangenter närmast tjena 

 till att representera antalet af elementer i dignitetens och rotens spiralbågar, 

 så är tangenten till hvardera bågen för sig egentligen att betrakta såsom en 

 gräns, hvartill produkten af spiralens första element multipliceradt med elemen- 

 ternas antal i bågen närmar sig, då den förra af dessa faktorer blir lika med 

 noll och den sednare lika med cc, och häraf synes man a priori kunna draga 

 den slutsats, att dessa tangenter äro till storleken oberoende af elementernas 

 tänkta antal. Att det verkligen så förhåller sig, lievises genom följande reson- 

 nement. Om man mångfaldigar elementernas antal i en från enhetens slut- 

 punkt {A, Fig. 3) utgående logaritmisk spiralbåge, som slutas i en oföränderlig 

 punkt {31), sålunda att man delar vinklarne mellan radierna {OA, Oa, Oh,. . .), 

 som antagas vara eqvidistanta, i ett visst antal {m) lika delar, så delas hvarje 

 element af spiralhågen i samma antal {m) delar. Af dessa delar äro de, 

 som höra till samma förra element, t. ex. det första {Aa), lika stora på en 

 oändligt liten qvantitet af andra ordningen när. Genom elementernas mång- 

 faldigande i den gifna spiralbågen blir således förta elementet lika många 

 gånger förminskadt, som elementernas antal ökas {m gånger), och produkten 

 af första elementet med elementernas antal i hela bågen {A3I.) blir således 

 oberoende af antalet elementer, förutsatt att detsamma tankes vara oändligt 

 stort, eller att man öfvergår till produktens {m X ^«) gräns. — Håraf följer, 

 att vilkoret om första elementernas {Aa, Aa) likhet i dignitetens och rotens 



t) 



